Bài 3 công thức lượng giác

* công thức nhân đôi

sin2a = 2sina.cosa

cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1= 1 – 2sin2a

( an 2a = frac2 an a1 - an ^2a)

Cách ghi nhớ:

Sin gấp hai = 2 sin cosCos gấp hai = bình cos trừ bình sin= trừ 1 cộng hai lần bình cos= cộng 1 trừ nhị lần bình sinTang cấp đôiTang đôi ta đem đôi tang (2 tang)Chia 1 trừ lại bình tang, ra liền.

Xem thêm: Soạn Bài Luyện Tập Vận Dụng Kết Hợp Các Thao Tác Lập Luận Lớp 11

* bí quyết hạ bậc

(eginarraylc mo ms^2a = frac1 + c mos2a2\ msi mn^2a = frac1 - c mos2a2\ an ^2a = frac1 - c mos2a1 + c mos2aendarray)

1.3. Công thức đổi khác tích thành tổng, tổng thành tích

(eginarraylcos a.cos b = frac12 m\sin a.sin b = frac12 m\sin a.cos b = frac12 mendarray)

Cách ghi nhớ:

Cos cos nửa cos-cộng, cộng cos-trừSin sin nửa cos-trừ trừ cos-cộngSin cos nửa sin-cộng cùng sin-trừ

(eginarraylcos u + cos v = 2cos fracu + v2cos fracu - v2\cos u + cos v = 2cos fracu + v2cos fracu - v2\sin u + sin v = 2sin fracu + v2cos fracu - v2\sin u - sin v = 2cos fracu + v2sin fracu - v2endarray)

Cách ghi nhớ:

Cos cộng cos bằng hai cos coscos trừ cos bởi trừ hai sin sinSin cộng sin bởi hai sin cossin trừ sin bởi hai cos sin.

Bài tập minh họa

Ví dụ 1: Tính(sin frac5pi 12;c mosfrac7pi 12)

Hướng dẫn:

Sử dụng công thức cộng đối với sin và cos

* Ta có(sin frac5pi 12 = sin frac2pi + 3pi 12 = sin (fracpi 6 + fracpi 4))

(eginarrayl= sin fracpi 6.c mosfracpi 4 + c mosfracpi 6.sin fracpi 4\= frac12.fracsqrt 2 2 + fracsqrt 3 2.fracsqrt 2 2 = fracsqrt 2 + sqrt 6 4endarray)

* Ta có(c mosfrac7pi 12 = c mosfrac3pi + 4pi 12 = cos (fracpi 4 + fracpi 3))

(eginarrayl= c mosfracpi 4.c mosfracpi 3 - sin fracpi 4.sin fracpi 3 = fracsqrt 2 2.frac12 - fracsqrt 2 2.fracsqrt 3 2\= fracsqrt 2 - sqrt 6 4endarray)

Ví dụ 2: chứng tỏ rằng

(eginarrayla) m an (fracpi 4 - a) = frac1 - mathop m t olimits mana1 + mathop m t olimits mana\b) m an (fracpi 4 + a) = frac1 + mathop m t olimits mana1 - mathop m t olimits manaendarray)

Hướng dẫn:

Sử dụng phương pháp cộng so với tan

(eginarrayla) an (fracpi 4 - a) = frac an fracpi 4 - mathop m t olimits mana an fracpi 4 + mathop m t olimits mana = frac1 - mathop m t olimits mana1 + mathop m t olimits mana\b) an (fracpi 4 + a) = frac an fracpi 4 + mathop m t olimits mana an fracpi 4 - mathop m t olimits mana = frac1 + mathop m t olimits mana1 - mathop m t olimits manaendarray)

Ví dụ 3:Tính sin2a, cos2a, tan2a biết(sin a = - frac35 m, pi { m{ Hướng dẫn:

+ Tính cos a bằng công thức lượng giác cơ bản thích hợp

+ Áp dụng cách làm nhân đôi

(eginarraylsin ^2a + c mo ms^2a = 1 Leftrightarrow c mo ms^2a = 1 - sin ^2a\Leftrightarrow c mo ms^2a = 1 - ( - frac35)^2 = frac1625 Leftrightarrow cos a = pm frac45endarray)

Vì(pi { m{ cos 2a = 2cos ^2a - 1 = 2( - frac45)^2 - 1 = frac3225 - 1 = frac725\ an 2a = fracsin 2ac mos2a = frac2425.frac257 = frac247endarray)

Ví dụ 4: Tính( msinfracpi 8; an fracpi 8)

Hướng dẫn:

Sử dụng phương pháp hạ bậc

Ta tất cả (sin ^2fracpi 8 = frac1 - c mosfracpi 42 = frac1 - fracsqrt 2 22 = frac2 - sqrt 2 4)

Vì (sin fracpi 8 > 0)nên suy ra(sin fracpi 8 = fracsqrt 2 - sqrt 2 2)

( an ^2fracpi 8 = frac1 - c mosfracpi 41 + c mosfracpi 4 = frac1 - fracsqrt 2 21 + fracsqrt 2 2 = frac2 - sqrt 2 2 + sqrt 2 )

Vì ( an fracpi 8 > 0)nên suy ra( an fracpi 8 = sqrt frac2 - sqrt 2 2 + sqrt 2 = sqrt frac(2 - sqrt 2 )^22 = sqrt 3 - 2sqrt 2 = sqrt 2 - 1)

Ví dụ 5: Tính giá chỉ trị của những biểu thức

(A = sin frac15pi 12cos frac5pi 12;B = cos 75^ circ .cos 15^ circ )

Hướng dẫn:

Sử dụng công thức chuyển đổi tích thành tổng

(eginarraylA = sin frac15pi 12cos frac5pi 12 = frac12left< sin left( frac15pi 12 - frac5pi 12 ight) + sin left( frac15pi 12 + frac5pi 12 ight) ight>\= frac12left< sin frac10pi 12 + sin frac20pi 12 ight> = frac12left< sin frac5pi 6 + sin frac5pi 3 ight>\= frac12left< sin fracpi 6 + sin left( - frac2pi 3 ight) ight> = frac12(frac12 - fracsqrt 3 2) = frac14left( 1 - sqrt 3 ight)endarray)

(eginarraylB = cos 75^ circ .cos 15^ circ \= frac12left< cos left( 75^0 - 15^0 ight) + cos left( 75^0 + 15^0 ight) ight>\= frac12left< cos 60^0 + cos 90^0 ight> = frac12left< frac12 + 0 ight> = frac14endarray)

Ví dụ 6: minh chứng đẳng thức

(mathop m s olimits minx + cos x = sqrt 2 .sin (x + fracpi 4))

Hướng dẫn:

Áp dụngcông thức thay đổi tổng thành tựu để đổi khác vế trái thành vế cần của đẳng thức (có thểáp dụng công thức cộng, biến đổi VP thành VT của đẳng thức)

(eginarraylVT m = sinx + cos x = sin x + sin (fracpi 2 - x)\= 2sin fracpi 4.cos (x - fracpi 4) = 2.fracsqrt 2 2.cos (fracpi 4 - x)\= sqrt 2 .sin = sqrt 2 .sin (x + fracpi 4) = VPendarray)