Bài tập giới hạn của hàm số

     

Giới hạn hàm số tốt thường call là số lượng giới hạn của hàm số – Là con kiến thức đặc biệt quan trọng của toán 11 trực thuộc bậc THPT. Để học tốt phần này bạn cần nắm rõ lý thuyết, biết cách vận dụng linh hoạt những dạng vào giải bài tập.

Bạn đang xem: Bài tập giới hạn của hàm số


1. Triết lý giới hạn hàm số

1.1 giới hạn của hàm số trên một điểm

Định nghĩa 1. (Giới hạn hữu hạn): giả sử (a; b) là một trong khoảng cất điểm x0 với y = f (x) là 1 trong hàm số khẳng định trên một khoảng tầm (a; b), rất có thể trừ ở 1 điểm x0. Ta nói hàm số f (x) có số lượng giới hạn là số thực L lúc x dần cho x0 (hoặc trên điểm x0 ) nếu với đa số dãy số (xn) vào tập vừa lòng (a; b) x0 mà lại lim xn = x0 ta đều sở hữu lim f (xn) = L lúc đó ta viết: $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight) = L$ = L hoặc f (x) → L lúc x → x0

Từ định nghĩa, ta có những kết quả:

$mathop lim limits_x o x_0 c$ = c, cùng với c là hằng số.Nếu hàm số f (x) xác định tại điểm x0 thì $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight) = fleft( x_0 ight)$

Định nghĩa 2. (Giới hạn vô cực): giả sử (a; b) là 1 khoảng cất điểm x0 với y = f (x) là 1 trong hàm số xác minh trên một khoảng chừng (a; b), có thể trừ tại 1 điểm x0. Ta nói hàm số f (x) có số lượng giới hạn là vô rất khi x dần đến x0 (hoặc trên điểm x0 ) nếu với đa số dãy số (xn) trong tập hợp (a; b) x0 nhưng lim xn = x0


ta đều sở hữu limf(xn)= ±∞

Khi kia ta viết: $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight)$ = ± ∞ hoặc f (x) → ±∞ khi x → x0

1.2 số lượng giới hạn của hàm số tại vô cực

Định nghĩa 3. Mang sử hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; +∞). Ta nói hàm số f (x) có số lượng giới hạn là số thực L lúc x dần đến +∞ nếu với tất cả dãy số (xn) vào tập phù hợp (a; +∞) mà lại lim xn = +∞

ta đều phải có lim f (xn) = L

*


1.3 một vài định lý về giới hạn hữu hạn

Sau đây là 3 định lý đặc biệt quan trọng về số lượng giới hạn hữu hạn hàm số

*

1.4 số lượng giới hạn một bên

Đề tìm giới hạn bên bắt buộc hay giới hạn bên trái của hàm số f(x), ta phụ thuộc vào lý thuyết đặc trưng sau

*

1.5 một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

Sau đấy là 2 Quy tắc đặc biệt quan trọng đề tìm giới hạn vô cực bạn cần nhớ

*


1.6 những dạng vô định

*

2. Phân dạng giới hạn hàm số

Dạng 1. Thực hiện định nghĩa giới hạn của hàm số tìm kiếm giới hạn

Sử dụng những định nghĩa 1, khái niệm 2, quan niệm 3.

Xem thêm: Bà I - Choose The Best Answer A, B, C Or D

Bài tập 1. sử dụng định nghĩa số lượng giới hạn hàm số, tìm các giới hạn sau: $mathop lim limits_x o + infty frac2x – 1$

Lời giải

*

Dạng 2. Chứng minh rằng $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight)$ không tồn tại

Ta thực hiện theo công việc sau:

*

Bài tập 2: Tìm số lượng giới hạn hàm số lượng giác sau $mathop lim limits_x o + infty left( cos x ight)$

Lời giải

Đặt f(x) = cos x. Chọn hai hàng số xn với yn với:

*

Dạng 3. Các định lí về số lượng giới hạn và số lượng giới hạn cơ phiên bản để tìm giới hạn

Cách 1: Đưa hàm số cần tìm số lượng giới hạn về dạng tổng, hiệu, tích, thương của những hàm số cơ mà ta đang biết giới hạn.

Xem thêm: Các Loại Vitamin Nào Tan Được Trong Dầu, Sử Dụng Vitamin Tan Trong Dầu Có Gì Khác

Ta có kết quả sau:

*

Cách 2: Sử dụng nguyên lý kẹp giữa, cụ thể Giả sử nên tính giới hạn hàm số $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight)$ hoặc $mathop lim limits_x o + infty fleft( x ight)$

ta thực hiện quá trình sau:

*

Bài tập 3: Tính các giới hạn hàm số sau: $mathop lim limits_x o 3 left( x^2 + x ight)$

Lời giải

$mathop lim limits_x o 3 left( x^2 + x ight)$ = 32 + 3 = 12

Nhận xét

Với hàm số f(x) khẳng định tại điểm x0 thì giới hạn của nó khi x → x0 có mức giá trị f(x)Với hàm số $fracfleft( x ight)gleft( x ight)$ tất cả f(x0) ≠ 0 cùng g(x0) = 0 thì giới hạn của nó khi x → x0 có giá trị bởi ∞.Trong trường phù hợp với hàm số $fracfleft( x ight)gleft( x ight)$ tất cả f(x0) = 0 (tức gồm dạng $frac00$)Chúng ta phải sử dụng các phép chuyển đổi đại số nhằm khử dạng $frac00$, và thường thì là làm xuất hiện thêm nhân tử phổ biến (x − x0)

Dạng 4. Tính số lượng giới hạn một mặt của hàm số

Sử dụng những định lí với xem xét sau:

x → $x_0^ + $; được hiểu là x → x0 cùng x > x0 ( khi đó |x − x0| = x − x0 ).x → $x_0^ – $; được đọc là x → x0 và x 0 ( lúc ấy |x − x0| = x0 − x)

Bài tập 4: Tìm những giới hạn một bên của những giới hạn sau:

a) $mathop lim limits_x o 2^ + frac 3x – 6 ightx – 2$

b) $mathop lim limits_x o 2^ – fracx – 2$

Lời giải

a) $mathop lim limits_x o 2^ + fracx – 2 = mathop lim limits_x o 2^ + frac3x – 6x – 2 = mathop lim limits_x o 2^ + 3 = 3$

b) $mathop lim limits_x o 2^ – frac 3x – 6 ightx – 2 = mathop lim limits_x o 2^ – frac – 3x + 6x – 2 = mathop lim limits_x o 2^ + left( – 3 ight) = – 3$

Nhận xét: Vậy, trường hợp hàm số f(x) không xác minh tại điểm x0 thì giới hạn một mặt của nó không khác so với giới hạn tại x0

Dạng 5. Giới hạn của hàm số số kép

*

Bài tập 5. đến hàm số

*

Tính $mathop lim limits_x o 0^ – fleft( x ight)$ cùng $mathop lim limits_x o 0^ + fleft( x ight)$

Lời giải

*

Dạng 6. Một vài qui tắc tính số lượng giới hạn vô cực

Dạng 7. Dạng $frac00$

Bản chất của vấn đề khử dạng không khẳng định $frac00$ là làm xuất hiện thêm nhân tử bình thường để:

Hoặc là khử nhân tử chung để mang về dạng xác địnhHoặc là đổi khác về dạng giới hạn cơ bản, thân thuộc đã biết công dụng hoặc biết cách giả

*

Dạng 8. Số lượng giới hạn dạng 1∞, 0.∞, ∞0

a) Đối cùng với dạng 0.∞ với ∞0 ta chọn 1 trong hai bí quyết sau

Cách 1: áp dụng phương pháp biến đổi để tận dụng những dạng giới hạn cơ bản

Cách 2: sử dụng nguyên lí kẹp giữa với các bước

*

b) Đối cùng với dạng 1∞ cần nhớ những giới hạn cơ phiên bản sau $mathop lim limits_x o 0 left( 1 + x ight)^frac1x = e$, $mathop lim limits_x o infty left( 1 + frac1x ight)^x = e$

Trên phía trên là nội dung bài viết chia sẻ phương pháp tìm giới hạn hàm số và các dạng bài xích tập hay gặp. Bài tới ta đang học về hàm số liên tục, mới chúng ta đón xem.

Mọi vướng mắc bạn vui miệng để lại bình luận bên dưới để Toán học tập giải đáp cụ thể hơn. Chúc bàn sinh hoạt tập hiệu quả