Bài tập về giới hạn dãy số

     

Với bí quyết giải các dạng toán về giới hạn của dãy số môn Toán lớp 11 Đại số và Giải tích gồm phương pháp giải bỏ ra tiết, bài xích tập minh họa có lời giải và bài bác tập trường đoản cú luyện để giúp đỡ học sinh biết cách làm bài bác tập những dạng toán về số lượng giới hạn của hàng số lớp 11. Mời chúng ta đón xem:


Giới hạn của dãy số và giải pháp giải bài xích tập - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a) dãy số có giới hạn 0

Ta nói rằng hàng số (un) có giới hạn là 0 lúc n dần dần tới dương vô cực, so với mỗi số dương nhỏ tuổi tùy ý cho trước, hầu như số hạng của hàng số kể từ một số hạng nào đó trở đi, |un| bé dại hơn số dương đó.

Bạn đang xem: Bài tập về giới hạn dãy số

Kí hiệu: limn→∞un=0hay lim un = 0 tốt un→0khi n→+∞.

b) dãy số có số lượng giới hạn hữu hạn

Ta nói rằng dãy số (un) có số lượng giới hạn là số thực L ví như lim (un – L) = 0

Kí hiệu: limn→∞un=Lhay lim un = L hay un→Lkhi n→+∞.

c) hàng số có số lượng giới hạn vô cực

Dãy số (un) có giới hạn là +∞khi n→+∞, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Ký hiệu:limun=+∞ hoặcun→+∞  khi n→+∞ 

Dãy số (un) có giới hạn là -∞ khi n→+∞, nếulim−un=+∞

Ký hiệu:limun=−∞ hoặc un→−∞  khi n→+∞ 

d) Một vài số lượng giới hạn đặc biệt

limun=0⇔limun=0

lim1n=0;  lim1nk=0,k>0,k∈ℕ*

limnk=+∞,k>0,k∈ℕ*

limqn=0 khi   q1+∞ khi   q>1

e) Định lý về giới hạn hữu hạn

* nếu như lim un = a với lim toàn nước = b và c là hằng số. Khi đó ta có:

lim(un + vn) = a + b

lim(un - vn) = a - b

lim(un vn) = a.b

limunvn=ab,b≠0

lim(cun ) = c.a

lim|un | = |a|

limun3=a3

Nếu un≥0với hầu hết n thì a≥0và limun=a.

* Định lí kẹp: Cho cha dãy số (vn); (un) cùng (wn):

Nếuvn≤un≤wn,  ∀n∈N*limvn=limwn=a thì lim un = a.

Hệ quả: đến hai hàng số (un) cùng (vn):

Nếu un≤vn,  ∀n∈N*limvn=0thì lim un = 0.

f) Một vài luật lệ tìm số lượng giới hạn vô cực

* phép tắc tìm số lượng giới hạn tích lim (unvn)

Nếu limun=L≠0,   limvn=+∞ (hay −∞). Lúc đó: lim (unvn)

lim un = L

lim vn

lim (unvn)

+

+∞+∞

+

-∞-∞

-

+∞-∞

-

-∞+∞

* nguyên tắc tìm giới hạn thương

lim un = L

lim vn

Dấu của vn

limunvn

L

±∞

Tùy ý

0

L > 0

0

+

+∞

0

-

-∞

L

0

+

-∞

0

-

+∞

g) Tổng cung cấp số nhân lùi vô hạn

Xét cung cấp số nhân vô hạn u1; u1q; u1q2; … u1qn; … có công bội |q| S=u1+u1q+u1q2+....=u11−q   q1

2. Những dạng toán

Dạng 1: Tính số lượng giới hạn sử dụng một vài số lượng giới hạn đặc biệt

Phương pháp giải:

Sử dụng các giới hạn sệt biệt:

limun=0⇔limun=0

lim1n=0;lim1nk=0,k>0,k∈ℕ*limnk=+∞,k>0,k∈ℕ*

limqn=0khi   q1+∞khi   q>1

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a)lim1n2

b)lim1n2+n+3

c)lim1nn

Lời giải

Áp dụng bí quyết tính giới hạn đặc biệt, ta có:

a)lim1n2=0

b)lim1n2+n+3=0

c)lim1nn=0

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

a)lim12n

b)lim54n+1

c) lim (-0,999)n

Lời giải

a) lim12n=0 vì121

b) lim54n+1=+∞ vì54>1

c) lim (-0,999)n = 0 vì |-0,999| Dạng 2: Tính số lượng giới hạn hữu hạn của phân thức

Phương pháp giải:

Trường thích hợp lũy quá của n: phân chia cả tử và và mẫu đến nk (với nk là lũy thừa với số mũ phệ nhất).

Trường hòa hợp lũy thừa mũ n: chia cả tử và mẫu mang đến lũy thừa bao gồm cơ số lớn nhất.

Sử dụng một vài số lượng giới hạn đặc biệt:

limun=0⇔limun=0lim1n=0;lim1nk=0,k>0,k∈ℕ*limnk=+∞,k>0,k∈ℕ*limqn=0 khi   q1+∞ khi   q>1

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau

a)lim−2n3+3n2+4n4+4n3+n

b)lim−5n+4n−7n+1+4n+1

c)lim2nn+1n2+2n−3

Lời giải

a)lim−2n3+3n2+4n4+4n3+n=lim−2n3+3n2+4n4n4+4n3+nn4

=lim−2n+3n2+4n41+4n+1n3=−0+0+41+0+0=0

Vìlim2n=0, lim3n2=0, lim4n4=0, lim4n=0 cùng lim1n3=0.

b)lim−5n+4n−7n+1+4n+1=lim−5n−7n+1+4n−7n+1−7n+1−7n+1+4n+1−7n+1

=lim1−7.−5−7n+1−7.4−7n1+4−7n+1=1−7.0+1−7.01+0=0

Vì lim−5−7n=lim4−7n=0

c)lim2nn+1n2+2n−3=lim2nn+1n2n2+2n−3n2

=lim2n+1n21+2nn−3n2=0+01+0−0=0

Vì lim2n=0,lim1n2=0, lim2nn=0,lim3n2=0

Ví dụ 2: Tính những giới hạn sau:

Lời giải

*

Dạng 3: Tính số lượng giới hạn hữu hạn sử dụng phương pháp liên hợp

Phương pháp giải: Sử dụng những công thức phối hợp (thường sử dụng trong các bài toán chứa căn)

*

*

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

*

Lời giải

*

*

Ví dụ 2: Tính giới hạn sau:limn3+3n23−n

Lời giải

*

*

Dạng 4: Tính số lượng giới hạn ra vô cực dạng đựng đa thức hoặc căn thức

Phương pháp giải:

Rút bậc lớn nhất của đa thức làm nhân tử chung.

Sử dụng quy tắc số lượng giới hạn tới vô rất lim (unvn)

Nếu limun=L≠0,   limvn=+∞ (hay −∞). Khi đó: lim (unvn)

lim un = L

lim vn

lim (unvn)

+

+∞+∞

+

-∞-∞

-

+∞-∞

-

-∞+∞

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

*

Lời giải

*

Ví dụ 2: Tính những giới hạn sau

a)lim2n−n3+2n−2

b)limn2−n4n+1

Lời giải

*

*

Dạng 5: Tính giới hạn ra vô rất dạng phân thức

Phương pháp giải:

Rút bậc lớn nhất của tử và mẫu mã ra làm nhân tử chung.

Sử dụng quy tắc số lượng giới hạn tới vô rất lim (unvn)

Nếu limun=L≠0,   limvn=+∞ (hay −∞). Lúc đó: lim (unvn)

lim un = L

lim vn

lim (unvn)

+

+∞+∞

+

-∞-∞

-

+∞-∞

-

-∞+∞

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a)lim2n4−3n3+2n3+2

b)lim2n−13n2+23−2n5+4n3−1

Lời giải

*

*

Ví dụ 2: Tính số lượng giới hạn sau lim3n2−2n4+3n−24n−3n2+2.

Lời giải

*

Dạng 6: Tính giới hạn sử dụng định lý kẹp

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý kẹp cùng hệ trái của định lý kẹp

Định lí kẹp: Cho ba dãy số (vn); (un) và (wn): Nếuvn≤un≤wn,  ∀n∈N*limvn=limwn=a thì lim un = a

Hệ quả: cho hai hàng số (un) với (vn): nếu như un≤vn,  ∀n∈N*limvn=0 thì lim un = 0.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a)lim−1nn+4

b)lim−1n2n+1−13n+1

Lời giải

*

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

a)limsin2nn+2

b)lim1+cosn32n+3

Lời giải

*

Dạng 7: giới hạn dãy số có công thức truy vấn hồi

Phương pháp giải:

Cho dãy số (un) sinh hoạt dạng bí quyết truy hồi, biết (un) có số lượng giới hạn hữu hạn

Giả sử lim un = a (a là số thực) thì lim un+1 = a.

Thay a vào phương pháp truy hồi. Giải phương trình kiếm tìm a.

Ta được số lượng giới hạn của (un) là lim un = a.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: kiếm tìm lim un biết (un) có số lượng giới hạn hữu hạn vàun:u1=1un+1=2un+3un+2,  n∈ℕ*

Lời giải

Giả sử lim un = a, khi ấy lim un+1 = a

Suy raa=2a+3a+2⇒a2+2a=2a+3⇔a2=3⇔a=±3

Do u1=1>0,un+1=2un+3un+2>0  ∀n∈ℕ* nêna>0⇒a=3

Vậy limun=3.

Ví dụ 2: tìm lim un biết (un) có giới hạn hữu hạn cùng un:u1=2un+1=2+un,  n∈ℕ*.

Lời giải

Vìu1=2>0; un+1=2+un>0

Giả sử lim un = a (a > 0), lúc ấy lim un+1 = a

Suy ra a=2+a⇔a2=a+2

⇔a2−a−2=0⇔a=−1   (Loại)a=2  

Vậy lim un = 2.

Dạng 8: giới hạn của tổng vô hạn hoặc tích vô hạn

Phương pháp giải:

* Rút gọn (un) (sử dụng tổng cấp cho số cộng, cấp số nhân hoặc cách thức làm trội)

* Rồi tìm kiếm lim un theo định lí hoặc sử dụng nguyên lí định lí kẹp.

* Định lí kẹp: Cho cha dãy số (vn); (un) và (wn): Nếuvn≤un≤wn,  ∀n∈N*limvn=limwn=a thì lim un = a

Hệ quả: mang đến hai hàng số (un) với (vn): giả dụ un≤vn,  ∀n∈N*limvn=0thì lim un = 0.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

a)lim11.3+13.5+...+12n−12n+1

b)lim1+2+3+4+...+n1+3+32+33+...+3n.n+1

Lời giải

*

b)L=lim1+2+3+4+...+n1+3+32+33+...+3n.n+1

Xét tử số: Ta thấy 1; 2; 3; 4; … ; n là 1 trong những dãy số thủ công số cộng tất cả n số hạng cùng với u1 = 1 với d = 1.

Tổng n số hạng của cấp cho số cộng:Sn=u1+unn2=1+nn2.

Xét chủng loại số: Ta thấy 1; 3; 32; 33; …; 3n là một dãy số thủ công số nhân tất cả (n+1) số hạng cùng với u1 = 1 với q = 3.

Tổng (n + 1) số hạng của cấp cho số nhân:Sn+1=u1.1−qn+11−q=1−3n+11−3=3n+1−12.

Khi đó:L=lim1+nn23n+1−12.(n+1)=limn3n+1−1

Vì n3n+1−1=n3.3n−1n3n2n3n=23n vàlim23n=0

NênL=limn3n+1−1=0

(Bằng quy hấp thụ ta luôn có n2n, ∀n∈ℕ*và 3n>1, ∀n∈ℕ*⇒3n+1−3n=2.3n>2>1⇒3n+1−1>3n).

Ví dụ 2: Tính số lượng giới hạn sau:lim12⋅34⋅56⋅⋅⋅2n−12n

Lời giải

*

*

Dạng 9: Tổng cung cấp số nhân lùi vô hạn

Phương pháp giải:

Tổng của cấp cho số nhân lùi vô hạn là:S=u1+u1q+u1q2+....=u11−q   q1

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính tổng

a)S=1+12+14+18+…

b)S=1+0,9+0,92+0,93+…

Lời giải

a) S=1+12+14+18+…là tổng cung cấp số nhân lùi vô hạn cùng với u1 = 1 cùng q=12.

Nên S=1+12+14+18+…=11−12=2.

b) S=1+0,9+0,92+0,93+…là cấp số nhân lùi vô hạn cùng với u1 = 1 và q = 0,9.

Nên S=1+0,9+0,92+0,93+…=11−0,9=10.

Ví dụ 2: Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số:

a) a = 0,32111...

b) b = 2,151515...

Lời giải

a) Ta cóa=0,32111...=32100+1103+1104+1105+...

Vì 1103+1104+1105+... Là tổng của cung cấp số nhân lùi vô hạn cùng với u1=1103vàq=110

Nên b=32100+11031−110=289900.

b) Ta cób=2,151515...=2+15100+151002+151003+...

Vì 15100+151002+151003+... Là tổng của cung cấp số nhân lùi vô hạn cùng với u1=15100vàq=1100

Nên b=2+151001−1100=7133.

3. Bài tập từ bỏ luyện

Câu 1. trong số mệnh đề sau, mệnh đề làm sao là mệnh đề sai?

A. Lim1n3=0.

B. Lim−1nn2=0.

C. Lim1n3=−1.

D. Lim1n=0.

Câu 2. dãy số nào sau đây có số lượng giới hạn bằng 0?

A. 43n.

B. −43n.

C. −53n.

D. 13n.

Câu 3. dãy số nào dưới đây có giới hạn bằng 0?

A. Limn2−2n5n+5n2.

B. Lim1−2n5n+5.

C. Lim1−2n25n+5.

D. Lim1−2n5n+5n2.

Xem thêm: BáN Nhà Hẻm 331/70/115 Phan Huy Ích, Phường 14, Quận Gò Vấp, 4 X 15M, 1 Trệt 3 Lầu, Giá 5,2 Tỷ

Câu 4. Tính số lượng giới hạn limsinn!n2+1bằng

A. 0.

B. 1.

C. +∞.

D. 2.

Câu 5. cho dãy số (un) với un=1+3+5+...+2n−13n2+4. Lúc ấy lim un bằng

A. 13.

B. 0.

C. 23.

D. 1.

Câu 6. mang lại dãy số (un) cùng với un=11.2+12.3+....+1nn+1. Lúc ấy lim un bằng

A. 2.

B. 1.

C. 32.

D. Không tất cả giới hạn.

Câu 7. Tính limn−8n3+3n+23bằng:

A. +∞.

B. -∞.

C. -1.

D. 0.

Câu 8. Tính limn+4n2−n33bằng:

A. -43.

B. +∞.

C. 43.

D. -4.

Câu 9. Tính lim3n−2.5n7+3.5nbằng:

A. 23.

B. -16.

C. 17.

D. -23.

Câu 10. trong bốn số lượng giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0?

A. Lim2n+31−2n.

B. Lim2n+1n−32n−2n3.

C. Lim1−2n2n2+2n.

D. Lim2n+13.2n−3n.

Xem thêm: Đặc Điểm Của Các Nhóm Máu Và Nguyện Tắc Truyền Máu, Đặc Điểm Nhóm Máu O Là Gì

Câu 11. mang đến dãy số (un) được xác định bởi u1=1, un+1=22un+1un+3với đầy đủ n≥1. Biết hàng số (un) có giới hạn hữu hạn, lim un bằng: