Home / Tổng hợp / bài tập xét tính đơn điệu của hàm số

BÀI TẬP XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

admin - 06/12/2022 47

Bài tập Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học tập có lời giải (4 dạng)

Với bài tập Tính solo điệu của hàm số vào đề thi Đại học tập có lời giải (4 dạng) Toán lớp 12 có đầy đủ phương pháp giải, lấy ví dụ minh họa và bài xích tập trắc nghiệm tất cả lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tính 1-1 điệu của hàm số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

Bạn đang xem: Bài tập xét tính đơn điệu của hàm số

Dạng 1: Xét tính solo điệu của hàm số.

I. Phương thức giải

Để xét tính đối kháng điệu của hàm số y= f( x) bên trên tập xác minh ta làm như sau:

Bước 1. Tìm kiếm tập xác định D.

Bước 2. Tính đạo hàm y" = f"(x).

Bước 3. Tìm nghiệm của y" = 0 hoặc phần lớn giá trị x khiến cho f"(x) ko xác định.

Bước 4. Lập bảng đổi thay thiên.

Bước 5. Kết luận.

II. Lấy ví dụ như minh họa

Ví dụ 1: Xét tính đồng trở nên và nghịch đổi mới của hàm số y = x3 – 3x2 – 9x - 10

Lời giải:

Ta bao gồm đạo hàm: y" = 3x2 - 6x - 9

Giải y" = 0 giỏi 3x2 - 6x - 9 = 0

Bảng phát triển thành thiên:

Dựa vào bẳng trở thành thiên hàm số đồng biến chuyển trên khoảng (-∞; -1) và (3; +∞)

Hàm số nghịch trở nên trên khoảng tầm (-1; 3).

Ví dụ 2: Xét tính đối chọi điệu của hàm số sau:

Lời giải:

TXĐ: D = R-1.

Giải y" = 0

⇒ x2 + 2x - 8 = 0

y" không xác minh khi x = -1. Bảng biến hóa thiên:

Hàm số nghịch đổi mới trên những khoảng (-4; -1) và (-1;2)

Hàm số đồng biến hóa trên những khoảng (-∞; -4) với (2; +∞)

Ví dụ 3: đến hàm số

Xét tính đối kháng điệu của hàm số?

Lời giải:

Điều kiện: 3x2 - x3 > 0 suy ra D = (-∞; 3>.

Đạo hàm

, ∀x ∈ (-∞;3)

Giải y" = 0

y" không khẳng định khi

Bảng thay đổi thiên:

Hàm số nghịch đổi thay trên (-∞;0) với (2;3) với (3;+∞)

Hàm số đồng biến chuyển trên (0;2).

Ví dụ 4: mang lại hàm số y = |x + 1|(x - 2). Xét tính đơn điệu của hàm số?

Lời giải:

Ta có:

Suy ra đạo hàm:

Phương trình y" = 0 gồm nghiệm x = 1/2

Bảng biến đổi thiên:

+ Hàm số đồng đổi thay khi (-∞;-1) với (1/2; ∞)

+ Hàm số nghịch biến đổi trên khoảng (-1; 1/2).

Ví dụ 5: cho hàm số y = x4 – 2x2 – 3. Xét tính 1-1 điệu của hàm số

Lời giải:

Ta có: Đạo hàm y" = 4x3 – 4x

Phương trình y" = 0 lúc 4x3 – 4x = 0

Bảng biến hóa thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng chừng (-1;0) và (1;+∞)

Hàm số nghịch biến đổi trên khoảng chừng (-∞;-1) với (0;1).

Ví dụ 6: Xét tính đối kháng điệu của hàm số:

Lời giải:

Điều kiện: x ≠ -1

Đạo hàm:

Bảng phát triển thành thiên:

Hàm số đồng thay đổi trên tập xác định.

Dạng 2: tra cứu tham số m để hàm số solo điệu trên R (tập xác định).

I. Phương thức giải

* Hàm đa thức bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d

Đạo hàm: y" = 3ax2 + 2bx + c

• Hàm nhiều thức bậc tía đồng vươn lên là trên R khi còn chỉ khi:

• Hàm đa thức bậc cha nghịch đổi mới trên R khi và chỉ khi:

* Hàm phân thức số 1

Đạo hàm

và hàm số xác minh với phần đa x ≠ -d/c

• Hàm số đồng thay đổi trên tập xác minh khi y" > 0 tốt ad - bc > 0

• Hàm số nghịch biến trên tập xác minh khi y" 2 + bx + c ta có:

II. Ví dụ như minh họa

Ví dụ 1: mang đến hàm số y = (m + 2).x3/3 - (m + 2)x2 + (m - 8)x + mét vuông - 1. Tìm tất cả các quý giá của tham số thực m để hàm số nghịch biến đổi trên R

A. M -2

C. M ≤ -2 D. M ≥ -2

Lời giải:

Ta có đạo hàm: y" = (m + 2)x2 - 2(m + 2)x + m - 8.

Yêu cầu vấn đề ⇔ y" ≤ 0, ∀x ∈ R (y" = 0 tất cả hữu hạn nghiệm)

TH1: m + 2 = 0 hay m = -2, lúc ấy y" = -10 ≤ 0, ∀x ∈ (thỏa mãn).

TH2:

Kết phù hợp hai trường thích hợp ta được m ≤ -2

Suy ra chọn lời giải C.

Ví dụ 2: tìm m nhằm hàm số

đồng trở nên trên tập xác định.

A. M > 4 B. M -4 D. M 0; ∀ ∈ R2

Hay

Vậy nhằm hàm số đã cho đồng trở thành trên tập khẳng định thì m 4 B. M 2 + mx + 3. Điều kiện để hàm số không bị suy trở nên là:

f(1) ≠ 0 hay 12 + m.1 + 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ -4

+ Đạo hàm:

Để hàm số đã mang đến đồng vươn lên là trên tập khẳng định khi và chỉ khi:

Và phương trình y" = 0 chỉ có hữu hạn nghiệm.

Mà x2 - 2x - m - 3 ≥ 0 khi và chỉ còn khi: Δ" = (-1)2 - (-m - 3).1 ≤ 0

Kết hợp với điều kiện; suy ra nhằm hàm số đồng biến đổi trên tập xác minh thì m 3 – 6x2 + 3mx – 1. Kiếm tìm m nhằm hàm số đồng biến đổi trên R.

A. M > -2 B. M 2

C. M 2 - 1.

Đạo hàm y" = -12x. Đạo hàm y" đổi vệt từ dương sang âm lúc qua điểm x = 0

⇒ Hàm số ko đồng biến chuyển trên R lúc m = 0.

* trường hợp m ≠ 0 thì y" = 3mx2 - 12x + 3m. Để hàm số đồng đổi thay trên R khi và chỉ còn khi:

Δ" ≤ 0 ⇔ (-6)2 - 9m2 ≤ 0 ⇔ m 2.

⇔ m 2

Vậy để hàm số đã đến đồng biến chuyển trên R thì m 2.

Xem thêm: Soạn Trau Dồi Vốn Từ (Trang 99), Soạn Bài Trau Dồi Vốn Từ (Chi Tiết)

Suy ra chọn giải đáp B.

Dạng 3.1: phương pháp cô lập m trong điều tra tính solo điệu của hàm số.

I. Phương pháp giải

•Bước 1. Tính đạo hàm y"

Hàm số đồng phát triển thành trên khoảng tầm K ⇔ y" ≥ 0, ∀x ∈ K (1)

Hàm số nghịch trở thành trên khoảng K ⇔ y" ≤ 0, ∀x ∈ K (2)

•Bước 2. Từ bất phương trình (1) (hoặc (2)) gửi bất phương trình về dạng m ≥ f(x) hoặc m ≤ g(x)

•Bước 3. Xét chiều đổi thay thiên của hàm số trên khoảng tầm K.

•Bước 4. Kết luận.

m ≥ g(x), ∀x ∈ K ⇔ m ≥ max g(x) (x ∈ K)

m ≤ g(x), ∀x ∈ K ⇔ m ≤ min g(x) (x ∈ K)

II. Lấy một ví dụ minh họa

Ví dụ 1: kiếm tìm m nhằm hàm số y = x3/3 - mx2 + (1 - 2m)x - 1 đồng biến chuyển trên (1; +∞) ?

A. M > 50% B. M ≥ 50%

C. M 2 – 2mx + 1 - 2m

* Hàm số đã mang đến đồng biến chuyển trên (1; +∞) ⇔ f"(x) ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞)

Hay ∀x ∈ (1; +∞) thì y" = x2 - 2mx + 1 - 2m ≥ 0 ⇔ x2 + 1 ≥ 2m(x + 1)

(vì khi x > 1 thì x + 1 > 0) (*)

* Xét hàm số:

Ta có:

⇒ hàm số đồng biến đổi trên (1; ∞) cần f(x) > f(1) = 1 (**)

Từ (*) và (**) suy ra: 2m > 1 ⇔ m > 1/2

Suy ra chọn lời giải A.

Ví dụ 2: Tìm những giá trị của m nhằm hàm số y = mx3 – x2 + 3x + m - 2 đồng biến hóa trên (-3; 0)

A. M > một nửa B. M -1/3

Lời giải:

Tập khẳng định D = R.

* Đạo hàm y" = 3mx2 - 2x + 3

Hàm số đồng vươn lên là trên (-3; 0) khi và chỉ khi y"(x) ≥ 0, ∀x ∈ (-3;0) cùng phương trình y" = 0 gồm hữu hạn nghiệm trên (-3; 0)

⇔ 3mx2 - 2x + 3 ≥ 0, ∀x ∈ (-3;0)

⇔ 3mx2 ≥ 2x - 3, ∀x ∈ (-3;0)

Đặt

Ta có:

Vì -3 0 và 3x3 -1/3

Suy ra chọn giải đáp D.

Ví dụ 3: mang đến hàm số:

Với đa số giá trị làm sao của m thì hàm số đã mang đến đồng đổi mới trên (1;5>

A. M > -1/24 B. M 3 + bx2 + cx + d

⇒ Đạo hàm y" = 3ax2 + 2bx + c

• ví như a > 0 cùng y" = 0 gồm hai nghiệm rõ ràng x1 2

Hàm số đồng đổi thay trên (α; β) khi và chỉ còn khi:

Hàm số nghịch vươn lên là trên (α; β) khi còn chỉ khi:

• giả dụ a 1 2

Hàm số nghịch phát triển thành trên (α; β) khi và chỉ khi:

Hàm số đồng vươn lên là trên (α; β) khi và chỉ còn khi

+ Hàm phân thức

Hàm số tất cả đạo hàm

• Hàm số đồng vươn lên là trên khoảng tầm K nếu như ad - bc > 0 cùng -d/c ∉ K.

• Hàm số nghịch biến hóa trên khoảng chừng K nếu như ad - bc 3 – (m + 1)x2 - (2m2 - 3m + 2).x + 2m(2m - 1). Tìm toàn bộ các quý hiếm thực của tham số m nhằm hàm số đã mang đến đồng đổi thay trên <2;+∞)

A. M -2 D. M 2 – 2(m + 1)x – (2m2 – 3m + 2)

* Xét phương trình y" = 0 có:

Δ" = (m + 1)2 + 3(2m2 - 3m + 2) = 7(m2 - m + 1) > 0, ∀x ∈ R

Suy ra phương trình y" = 0 luôn có nhị nghiệm x1 > x2 với tất cả m.

* Để hàm số đồng vươn lên là trên <2;+∞) ⇔ phương trình y" = 0 có hai nghiệm x1 2 ≤ 2

Suy ra chọn lời giải B.

Ví dụ 2: Tìm toàn bộ các cực hiếm của m nhằm hàm số y = x3 – 3(m + 1)x2 + 3m(m + 2)x nghịch đổi mới trên đoạn <0; 1>

A. M -1

Lời giải:

* Đạo hàm: y" = 3x2 - 6(m + 1)x + 3m(m + 2) = 3

Ta có: Δ" = (m + 1)2 - m(m + 2) = 1 > 0, ∀x ∈ R.

Do đó y" = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt x = m; x = m + 2

Bảng biến đổi thiên

Dựa vào bảng biến chuyển thiên, nhằm hàm số nghịch biến hóa trên <0; 1> ↔ <0; 1> ⊂

Suy ra chọn lời giải C.

Ví dụ 3: đến hàm số y = (m2 - 2m)x4 + (4m - m2)x2 - 4. Hỏi tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m nhằm hàm số đồng vươn lên là trên khoảng tầm (0; +∞)

A. 0. B. Vô số.

C. 2. D. 3.

Lời giải:

Ta xét nhị trường hợp:

• thông số a = m2 - 2m = 0

Hàm số y = 4x2 - 4 tất cả đồ thị là 1 trong những parabol nghịch biến hóa trên khoảng (-∞; 0), đồng biến hóa trên khoảng tầm (0; +∞)

Do đó m = 2 thỏa mãn. (Học sinh rất mắc phải sai lầm là ko xét trường phù hợp a = 0)

• hệ số a = mét vuông - 2m ≠ 0.

Dựa vào dáng vẻ điệu đặc trưng của hàm trùng phương thì yêu thương cầu bài toán tương tự với thứ thị thàm số bao gồm một cực trị và chính là cực tè

⇔ 2 m ∈ Z→ m = 3;4

Vậy m = 2; 3; 4

Suy ra chọn câu trả lời D.

Ví dụ 4: Tìm toàn bộ các quý giá thực của thông số m để hàm số

nghịch vươn lên là trên khoảng tầm (-∞; 2).

A. M > 2 B. M ≥ 1

C. M ≥ 2 D. M > 1

Lời giải:

Cách 1.

Điều kiện: x ≠ m

Ta gồm

Với -m + 1 1 thì y" 3 B. -2 1 2 0 với tất cả x trực thuộc tập xác định.

⇔ x2 - 4x - 2m - 3 ≥ 0 với mọi x.

⇔ Δ" = 4 + 2m + 3 ≤ 0

⇔ 7 + 2m ≤ 0 ⇔ m ≤ -7/2

+ Trường đúng theo 2. Phương trình y" = 0 bao gồm hai nghiệm x1 2 3 + bx2 + cx + d đồng đổi mới ( nghịch biến) trên đoạn bao gồm độ dài bằng l.

•Bước 1. Tính đạo hàm y" = 3ax2 + 2bx + c (*)

•Bước 2. Tìm điều kiện để hàm số đồng biến; nghịch đổi thay trên đoạn (khi kia phương trình (*) bao gồm 2 nghiệm phân biệt.

•Bước 3. Áp dụng hệ thức viet với phương trình (*). điện thoại tư vấn x1, x2 là 2 nghiệm phương trình (*)

•Bước 4. Trở nên đổi: nhằm :

|x1 - x2| = l ⇔ x12 + x22 - 2x1.x2 = l2

⇔ (x1 + x2)2 - 4x1x2 = l2(**)

•Bước 5. Thế (I) vào (**) ta được phương trình ẩn m .

Giải phương trình ta tìm m = ... .

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: biết rằng hàm số y = 1/3.x3 + 3(m - 1)x2 + 9x + 1 (với m là số thực) nghịch biến hóa trên khoảng (x1; x2). Tìm tất cả các cực hiếm của m để |x1 - x2| = 6√3

A. M = -1 B. M = 3

C. M = -3; m = 1 D. M = -1; m = 3.

Lời giải:

* Ta tất cả đạo hàm: y" = x2 + 6(m - 1)x + 9.

Yêu cầu bài toán trở thành phương trình: y" = 0 bao gồm hai nghiệm phân biệt x1, x2 vừa lòng |x1 - x2| = 6√3

* Ta có: Δ" = 3(m - 1)2 - 9 = 3m2 - 6m - 6

Để phương trình đang cho tất cả 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ còn khi: