Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc trong không gian

     

Cách minh chứng hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay

Với Cách chứng tỏ hai con đường thẳng vuông góc trong không gian cực tuyệt Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài bác tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học viên ôn tập, biết phương pháp làm dạng bài bác tập minh chứng hai đường thẳng vuông góc trong không gian từ kia đạt điểm trên cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

Bạn đang xem: Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc trong không gian

*

A. Cách thức giải

Để chứng tỏ hai đường thẳng vuông góc với nhau ta hoàn toàn có thể làm theo các cách sau:

+ hotline u→ cùng v→ là nhị vecto chỉ phương của hai tuyến đường thẳng; hội chứng minh: u→. V→ = 0

⇒ (u→ ; v→) = 90°

+ dùng định lí Pytago đảo chứng minh hai đường thẳng vuông góc.

+ nếu a // a’; b // b’ và a ⊥ b thì a" ⊥ b"

B. Lấy ví dụ minh họa

Ví dụ 1: đến tứ diện ABCD gồm AC = a; BD = 3a. Call M; N theo lần lượt là trung điểm của AD với BC. Biết AC vuông góc cùng với BD. Tính MN.

*

Hướng dẫn giải

*

Gọi p là trung điểm của AB

⇒ PN; PM lần lượt là mặt đường trung bình của tam giác ABC với ABD.

Suy ra

*

Ta bao gồm AC ⊥ BD ⇒ PN ⊥ PM giỏi tam giác PMN vuông trên P

Do đó

*

Chọn B

Ví dụ 2: đến tứ diện ABCD bao gồm AB vuông góc cùng với CD. Mặt phẳng (P) song song cùng với AB với CD lần lượt cắt BC; DB; AD; AC tại M; N; P; Q . Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. Hình thang

B. Hình bình hành

C. Hình chữ nhật

D. Tứ giác chưa hẳn hình thang

Hướng dẫn giải

*

Ta tất cả

*

Tương trường đoản cú ta có: MN // CD; NP // AB với QP // CD

Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành

Lại bao gồm MN ⊥ MQ(do AB ⊥ CD)

⇒ Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

Chọn C

Ví dụ 3: Trong không gian cho nhì tam giác hồ hết ABC và ABC’ gồm chung cạnh AB và nằm trong hai phương diện phẳng khác nhau. Call M; N; P; Q thứu tự là trung điểm của những cạnh AC; CB; BC’ cùng C’A . Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. Hình bình hành

B. Hình chữ nhật

C. Hình vuông

D. Hình thang

Hướng dẫn giải

*

Vì M; N; P; Q theo lần lượt là trung điểm của các cạnh AC; CB; BC’ với C’A

*
⇒ MNPQ là hình bình hành

Gọi H là trung điểm của AB.

Vì hai tam giác ABC với ABC’ đều buộc phải

*

Suy ra AB ⊥ (CHC"). Vì vậy AB ⊥ CC"

Ta tất cả

*

Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

Chọn B

Ví dụ 4: mang lại hình vỏ hộp ABCD.A’B’C’D’ có toàn bộ các cạnh đều bởi nhau. Trong số mệnh đề sau, mệnh đề nào rất có thể sai?

A. A"C" ⊥ BD

B. BB" ⊥ BD

C. A"B ⊥ DC"

D. BC" ⊥ A"D

Hướng dẫn giải

*

Chọn B

Chú ý: Hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau còn được gọi là hình vỏ hộp thoi

A đúng vì:

*

Ví dụ 5: mang lại tứ diện ABCD. Chứng tỏ rằng trường hợp AB→.AC→ = AC→.AD→ = AD→.AB→ thì AB ⊥ CD, AC ⊥ BD, AD ⊥ BC. Điều ngược lại đúng không?

Sau đây là lời giải:

Bước 1: AB→.AC→ = AC→.AD→ ⇔ AC→.(AB→ - AD→) = 0 ⇔ AC.DB = 0 ⇔ AC ⊥ BD

Bước 2: chứng tỏ tương tự, từ bỏ AC→.AD→ = AD→.AB→ ta được AD ⊥ BC và AB→.AC→ = AD→.AB→ ta được AB ⊥ CD

Bước 3: trái lại đúng, vì quá trình chứng minh ở cách 1 với 2 là vượt trình thay đổi tương đương

Bài giải bên trên đúng hay sai? trường hợp sai thì sai ở đâu?

A. Đúng

B. Không đúng từ cách 1

C. Sai từ bước 1

D. Sai bước 3

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Xem thêm: Sục Một Dòng Khí H2S Vào Dung Dịch Cuso4 Thấy Xuất Hiện Kết Tủa Đen

*

C. Bài bác tập vận dụng

Câu 1: đến tứ diện phần nhiều ABCD gồm cạnh bởi a. Hotline M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, CD, AD, BC và AC. Tính góc của hai tuyến phố thẳng AB với CD?

A. (AB, CD) = 60°

B. (AB, CD) = 30°

C. (AB, CD) = 45°

D. (AB, CD) = 90°

Lời giải:

*

+ Ta chứng tỏ MN vuông góc cùng với RQ :

Ta tất cả MC = MD = (a√3)/2 buộc phải tam giác MCD cân tại M, do đó MN ⊥ CD

Lại bao gồm RP // CD ⇒ MN ⊥ RQ

+ tương tự như ta gồm QP ⊥ AD

+ trong tam giác vuông PDQ ta bao gồm :

*

Chọn D

Câu 2: Trong không gian cho hai tam giác phần đa ABC với ABC’ tất cả chung cạnh AB và bên trong hai phương diện phẳng khác nhau. Gọi M, N, P, Q theo lần lượt là trung điểm của những cạnh AC, CB, BC’ với C’A. Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. Hình bình hành

B. Hình chữ nhật

C. Hình vuông

D. Hình thang

Lời giải:

*

Chọn B

+ xét tam giác ABC tất cả MN là đường trung bình nên

MN // AB với MN = (1/2)AB(1)

+ giống như có: PQ // AB và PQ = một nửa AB(2)

Từ (1) cùng (2) suy ra: MNPQ là hình bhình hành.

Gọi H là trung điểm của AB.

Vì nhị tam giác ABC với ABC’ đều yêu cầu

*

*

Câu 3: mang lại hình lập phương ABCD.A"B"C"D" cạnh a. Trên các cạnh DC và BB" lấy các điểm M cùng N làm thế nào cho MD = NB = x (0 ≤ x ≤ a). Khẳng định nào sau đấy là đúng?

a) xác định nào sau đấy là đúng?

A. AC" ⊥ B"D"

B. AC’ cắt B’D’

C. AC’ với B’D’ đồng phẳng

D. Cả A, B, C rất nhiều đúng

b) xác minh nào sau đó là đúng ?

A. AC" ⊥ MN

B. AC’ với MN cắt nhau

C. AC’ cùng MN đồng phẳng

D. Cả A, B, C các đúng

Lời giải:

*

*

Câu 4: cho tứ diện ABCD có AC = a, BD = 3a. điện thoại tư vấn M cùng N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc cùng với BD. Tính MN.

*

Lời giải:

*

Chọn A

Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD

Ta có:

*

Mà:

*

Từ (1), (2) ⇒ MENF là hình chữ nhật.

Xem thêm: Nhỏ Thì Trắng Phau Phau Phau

Từ kia ta có:

*

Chọn D

Câu 5: đến tứ diện ABCD có AB = a ; BD = 3a . Gọi M và N theo lần lượt là trung điểm của AD cùng BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN

*

Lời giải:

*

Chọn B

Kẻ NP // AC, nối MP

Do NP là con đường trung bình tam giác ABC

⇒ PN = (1/2).AC = a/2

Do MP là đường trung bình tam giác ABD

⇒ PM = (1/2).BD = 3a/2

Lại gồm (AC, BD) = (PN, PM) = ∠MPN = 90°

⇒ Tam giác MNP vuông tại P.

Vậy

*

Câu 6: cho tứ diện ABCD gồm AB = CD. Call I; J; E; F theo lần lượt là trung điểm của AC; BC; BD; AD. Góc (IE; JF) bằng