HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC LỚP 11

     
nhì ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

A. Lí thuyết cơ bản

1. Tích vô hướng của hai vecto trong không gian

Góc giữa hai vecto trong không gian:

*
.

Bạn đang xem: Hai đường thẳng vuông góc lớp 11

Tích vô hướng của hai vecto trong không gian:

Cho

*
. Khi đó:
*
.

Với

*
hoặc
*
. Quy ước:
*
.

*
.

*
*
.

*
*
.

2. Góc giữa hai đường thẳng

Khái niệm vectơ chỉ phương của mặt đường thẳng

Một vectơ

*
mà bao gồm phương tuy nhiên song hoặc trùng với
*
được call là vectơ chỉ phương của mặt đường thẳng
*
.

Góc giữa hai tuyến phố thẳng

Góc giữa hai tuyến đường thẳng

*
*
là góc giữa hai tuyến phố thẳng
*
,
*
lần lượt tuy nhiên song với
*
,
*
. Kí hiệu
*

Từ quan niệm ta tất cả sơ đồ:

*
.

Nhận xét:

+ giả sử

*
có vectơ chỉ phương tương ứng là
*
*
.

Khi đó

*

+ Nếu

*
hoặc
*
thì
*
.

3. Hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng

*
được gọi là vuông góc cùng nhau nếu
*
. Kí hiệu là
*
.

Nếu

*
*
lần lượt là những vecto chỉ phương của hai đường thẳng
*
*
thì
*

Nếu

*
*
vuông góc với 1 trong hai con đường thẳng kia thì
*
vuông góc với con đường thẳng còn lại.

B. Bài bác tập

Dạng 1. Ứng dụng của tích vô hướng

A. Phương pháp

Muốn tính độ dài của đoạn thẳng

*
hoặc tính khoảng cách giữa hai điểm
*
*
ta phụ thuộc công thức:
*
.

Tính góc thân hai vecto

*
*
ta dựa vào công thức:
*
.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1:Cho tứ diện đều

*
cạnh
*
.

a)Tính góc thân hai véctơ

*
.

b)Gọi

*
là trung điểm của
*
. Tính góc giữa hai véctơ
*
.

Lời giải:

a)Sử dụng phương pháp tính góc thân hai vectơ ta được:

*
*
*
.

Xét

*

*
*
.

*
*
.

b)Ta có

*

Tứ diện

*
đều cạnh
*
.
*
là trung con đường của tam giác đều
*
nên
*

Suy ra

*
.

Ta có

*

Do

*
đều nên
*

Đồng thời

*

Suy ra

*
.

Thay vào

*
ta được
*
suy ra
*
.

Vậy

*
.

Ví dụ 1.2:Cho hình chóp

*
*
,
*
,
*
đôi một vuông góc và
*
. Gọi
*
là trung điểm của
*
.

a)Biểu diễn các véctơ

*
*
theo các véctơ
*
,
*
,
*
.

b)Tính

*
.

Lời giải:

a)Sử dụng phép tắc trung điểm và quy tắc trừ nhị véctơ ta được:

*
*
.

b)

*

*
,
*
,
*
đôi một vuông góc nên
*

Tam giác

*
*
vuông tại
*
nên theo định lý Pitago ta được
*

suy ra

*
.

Theo câu a ta có:

*
*
*
*
.

Thay vào

*
ta được
*
suy ra
*
.

Dạng 2. Góc giữa hai tuyến đường thẳng

A. Phương pháp

Để tính góc giữa hai tuyến đường thẳng

*
trong không gian ta hoàn toàn có thể thực hiện nay theo hai bí quyết sau:

Cách 1:Tìm góc giữa hai đường thẳng

*
bằng cách lựa chọn một điểm
*
thích hòa hợp (
*
thường nằm trên một trong hai con đường thẳng).

Từ

*
dựng các đường thẳng
*
lần lượt tuy vậy song (có thể trùng nếu
*
nằm trên một trong hai mặt đường thẳng) với
*
.

Lưu ý:Để tính góc này ta thường thực hiện định lí cosin trong tam giác

*
.

Cách 2:Tìm nhì vecto chỉ phương

*
của hai đường thẳng
*
.

Khi đó góc giữa hai tuyến đường thẳng

*
xác định bởi
*
.

Lưu ý:Để tính

*
ta chọn ba vecto
*
không đồng phẳng mà hoàn toàn có thể tính được độ dài cùng góc thân chúng, sau đó bộc lộ các vecto
*
qua các vecto
*
rồi tiến hành các tính toán.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 2.1:Cho hình chóp

*
có đáy
*
là hình chữ nhật, các tam giác
*
,
*
,
*
là những giác vuông tại
*
. Biết
*
,
*
,
*
. Tính góc giữa những đường trực tiếp sau:

a)

*
*
.b)
*
*
.c)
*
*
.

Lời giải:

a)Tính góc giữa

*
*

Để xác định góc giữa hai tuyến phố thẳng

*
*
ta áp dụng cách 1, tìm mặt đường thẳng tuy nhiên song với một trong hai con đường thẳng
*
,
*
và giảm đường thẳng còn lại.

Ta dễ nhấn thấy

*
.

Khi đó

*
.

Xét

*
*
suy ra
*
. Vậy
*
.

b)Tính góc giữa

*
*

Tương tự,

*
*
.

Xem thêm: Tổng Hợp Trọn Bộ Các Dạng Bài Tập Toán Lớp 3 Năm 2021, 140 Đề Thi Toán Lớp 3 Năm 2021

Xét

*
*
suy ra
*
. Vậy
*
.

c)Tính góc giữa

*
*

Gọi

*
là trọng tâm của hình chữ nhật
*
,
*
là trung điểm của
*
.

Trong

*
*
suy ra
*
.

Áp dụng định lý Pitago mang đến tam giác vuông

*
có:

*
.

Ta có

*
là hình chữ nhật nên
*
suy ra

*
.

Áp dụng định lý Pitago mang đến tam giác vuông

*
có:

*
.

Khi đó, theo định lý hàm số cosin cho

*
ta được:

*
.

Suy ra

*
.Vậy
*
.

Ví dụ 2.2:Cho tứ diện

*
, gọi
*
,
*
là trung điểm của
*
,
*
. Biết
*
,
*
. Tính góc giữa hai đường thẳng
*
*
.

Lời giải:

Cách 1:

Do

*
*
là nhì cạnh đối của tứ diện yêu cầu chúng chéo nhau, để xác minh góc giữa hai tuyến đường thẳng
*
*
ta tạo các đường thẳng tương ứng tuy nhiên song với
*
,
*
và chúng giảm nhau.

Gọi

*
là trung điểm của
*
, lúc đó
*
,
*

*

Do

*
,
*
là các đường trung bình buộc phải ta có
*
. Áp dụng định lý hàm số cosin trong
*
ta được:
*

Suy ra

*
*
. Vậy
*
.

Nhận xét:Ngoài việc tạo nên điểm

*
như trên ta cũng rất có thể lấy điểm
*
là trung điểm của
*
, biện pháp giải khí này cũng tương tự.

Cách 2:

Ta có:

*
.

*
.

*
.

*
.

Ví dụ 2.3:Cho hình chóp

*
có đáy là hình thang vuông tại
*
*
,
*
,
*
,
*
vuông góc với
*
*
,
*
. Tính góc của 2 mặt đường thẳng:

a)

*
*
.b)
*
*
.

Lời giải:

a)Do

*
*

Tam giác

*
vuông tại
*
nên
*
là góc nhọn, lúc đó
*
suy ra
*
.

Vậy góc giữa hai đường thẳng

*
*
bằng
*
.

Gọi

*
là trung điểm của
*
, lúc đó
*
. Tứ giác
*
là hình hình hành (do
*
), có
*
nên là hình thoi. Lại có góc
*
,
*
vuông nên
*
là hình vuông vắn cạnh
*
suy ra
*
.

Mặt khác, tứ giác

*
là hình hình hành (do cặp cạnh
*
*
song tuy nhiên và bằng nhau) nên
*
. Khi đó,
*
.

Tam giác

*
vuông tại
*
nên
*
.

Tam giác

*
vuông tại
*
nên
*
.

Áp dụng định lý hàm số cosin vào tam giác

*
ta được
*

Do

*
0" />nên góc
*
là góc nhọn suy ra
*
.

Dạng 3. Chứng minh hai con đường thẳng vuông góc với nhau

A. Phương pháp

Để chứng

*
ta hoàn toàn có thể thực hiện theo các cách sau:

Chứng minh

*
, trong đó
*
lần lượt là những vecto chỉ phương của
*
*
.

Sử dụng tính chất

*
.

Sử dụng định lí Pitago hoặc xác định góc giữa

*
và tính thẳng góc đó.

B. Bài bác tập ví dụ

Ví dụ 3.1:Cho tứ diện

*
trong đó
*
. Gọi
*
*
lần lượt là trung điểm của
*
*
.

a)Chứng minh rằng

*
vuông góc đối với tất cả hai con đường thẳng
*
*
.

b)Tính độ dài

*
.

Lời giải:

a)Từ trả thiết dễ dàng suy ra tam giác

*
đều,
*
vuông cân nặng tại
*
.

Từ đó

*
vuông cân nặng tại
*
.

Chứng minh

*
vuông góc với
*

Do các

*
vuông cân tại
*
nên

*
.

Chứng minh

*
vuông góc với
*

Do các

*
đều nên
*
.

b)Áp dụng định lí Pitago cho

*
vuông tại
*
ta được:

*
.

Vậy

*
.

Ví dụ 3.2:Cho hình chóp tam giác

*
*
*
. Chứng minh rằng
*
.

Lời giải:

Chứng minh

*

Xét

*
.

*

*

Chứng minh tương tự ta cũng được

*
.

Ví dụ 3.3:Cho tứ diện đều

*
, cạnh bằng
*
. Gọi
*
là trung ương đường tròn nước ngoài tiếp
*
.

a)Chứng minh

*
vuông góc với
*
.

b)Gọi

*
là trung điểm của
*
. Tính góc giữa:

+

*
*
.

+

*
*
.

Lời giải:

a)Sử dụng phương pháp dùng tích vô hướng.

Xem thêm: Tranh Vẽ 20/11 Đề Tài Ngày Nhà Giáo Việt Nam Đẹp, Top 40 Tranh Vẽ 20/11 Đẹp

Gọi

*
là trung điểm của
*
. Ta có:

*
.

Do

*
là tứ diện hầu như nên
*