Lý Thuyết Và Bài Tập Hình Học Không Gian
Trong không khí Oxyz, viết phương trình phương diện phẳng (P) chứa đường trực tiếp (d) : x - y - 2 = 0; 2x - z - 6=0sao mang lại giao con đường của phương diện phẳng (P) cùng mặt cầu (S) :x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 2y + 2z - 1 = 0 là con đường tròn có bán kính r = 1.
Câu 2:
Cho lăng trụ ABC.A"B"C" có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. điện thoại tư vấn D, F theo thứ tự là trung điểm các cạnh BC, C"B". Tính khoảng cách giữa hai tuyến phố thẳng A"B và B"C".
Bạn đang xem: Lý thuyết và bài tập hình học không gian
Xem thêm: 5 Hãy Cho Biết Cảng Nước Sâu Dung Quất Thuộc Tỉnh Thành Phố Nào ?
Bạn đã xem trăng tròn trang chủng loại của tư liệu "Hình học không gian có lời giải", để cài đặt tài liệu cội về máy chúng ta click vào nút DOWNLOAD sống trên
Xem thêm: Top 40 Đề Thi Toán Kì 2 Lớp 4 0 Đề Thi Toán Lớp 4 Học Kì 2 Có Đáp Án
BÀI 1Caâu 1: trong khoâng gian Oxyz, vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa ñöôøng thaúng (d) : thế nào cho giao tuyeán cuûa maët phaúng (P) vaø maët caàu (S) : laø ñöôøng troøn coù baùn kính r = 1.Caâu 2: mang đến laêng truï ABC.A"B"C" coù caùc maët beân ñeàu laø hình vuoâng caïnh a. Goïi D, F laàn löôït laø trung ñieåm caùc caïnh BC, C"B". Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng A"B vaø B"C".GIẢICaâu 1:Maët phaúng (P) chöùa (d) coù daïng: m(x – y – 2) + n(2x – z – 6) = 0°Maët caàu (S) coù taâm I(-1; 1; -1), baùn kính R = 2.°(P) caét (S) theo moät ñöôøng troøn giao tieáp (C) coù baùn kính r = 1°Cho °Vaäy, coù 2 maët phaúng (P): A/B/C/CBAHFD Caâu 2: .Caùch 1: °Vì caùc maët beân cuûa laêng truï laø caùc hình vuoâng Þ Þ caùc tam giaùc ABC, A/B/C/ laø caùc tam giaùc ñeàu.°Ta coù: °Ta coù: °Döïng °Vì °DA/FD vuoâng coù: °Vaäy, Caùch 2:A/C/B/ABCDxazy°Vì caùc maët beân cuûa laêng truï laø caùc hình vuoâng Þ DABC, DA/B/C/ laø caùc tam giaùc ñeàu caïnh a.°Döïng heä truïc Axyz, vôùi Ax, Ay, Az ñoâi moät vuoâng goùc, A(0; 0; 0), °Ta coù: °° vôùi °Phöông trình mp (A/BC) qua A/ vôùi phaùp vectô : °°Vaäy, BÀI 2Caâu 1: vào khoâng gian Oxyz mang đến A(0; 1; 0), B(2; 2; 2), C(-2; 3; 1) vaø ñöôøng thaúng (D) : 1.Tìm ñieåm M thuoäc (D) ñeå theå tích töù dieän MABC baèng 3.2.Tìm ñieåm N thuoäc (D) ñeå theå tích tam giaùc ABN nhoû nhaát.Caâu 2: (1,0 ñieåm)Cho hình choùp S.ABC ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a. SA = SB = SC, khoaûng caùch töø S ñeán maët phaúng (ABC) laø h. Tính h theo a ñeå nhì maët phaúng (SAB) vaø (SAC) vuoâng goùc nhau.GIẢICaâu 1:1.Phöông trình tham soá cuûa (D): °°°, vôùi °Phöông trình mp (ABC) qua A vôùi phaùp vectô : (ABC): x + 2y – 2z – 2 = 0.°°Ñöôøng cao MH cuûa töù dieän MABC laø khoaûng töø M ñeán (ABC): °Theå tích töù dieän MABC baèng 3 °Vaäy, coù 2 ñieåm M caàn tra cứu laø: 2.°°Vaäy, ñieåm N caàn tìm kiếm laø N(-3; 0; 1).Caâu 2: SIAOBMCCaùch 1:°Goïi O laø taâm cuûa DABC°Ta coù: Þ SO laø truïc cuûa ñöôøng troøn (ABC) °Maø : °Döïng , suy ra: laø goùc phaúng nhò dieän (B, SA, C).°DSOA vuoâng coù: °Goïi M laø trung ñieåm BCTa coù: (ñònh lyù 3 ñöôøng vuoâng goùc)Þ ° caân taïi I.° vuoâng caân taïi I SzAzHBMyC°Vaäy, Caùch 2:°Goïi H laø taâm cuûa DABC vaø M laø trung ñieåm cuûa BC°Ta coù: °Döïng heä truïc toïa ñoä Axyz, vôùi Ax, Ay, Az ñoâi moät vuoâng goùc .°° vôùi ° vôùi .°Maët phaúng (SAB) coù caëp vectô chæ phöông neân coù phaùp vectô .°Maët phaúng (SAC) coù caëp vectô chæ phöông neân coù phaùp vectô .°°Vaäy: BÀI 3Caâu 1: vào khoâng gian Oxyz mang lại ñöôøng thaúng (d) vaø maët caàu (S):Tìm m ñeå (d) caét (S) taïi hai ñieåm M, N làm thế nào để cho MN = 8.Caâu 2: mang đến töù dieän OABC coù ñaùy laø DOBC vuoâng taïi O, OB = a, OC = vaø ñöôøng cao . Goïi M laø trung ñieåm caïnh BC. Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng AB vaø OM.GIẢIHNMICaâu 1: Maët caàu (S): coù taâm I(-2; 3; 0), baùn kính , vôùi m 0), hình chieáu cuûa S treân ñaùy truøng vôùi troïng taâm G cuûa DABC. Ñaët SG = x (x > 0). Xaùc ñònh giaù trò cuûa x ñeå goùc phaúng nhò dieän (B, SA, C) baèng 60o.GIẢICaâu 1:Phöông trình maët phaúng (xOy): z = 0°Phöông trình maët phaúng (P) thuoäc chuøm xaùc ñònh bôûi (a) vaø (xOy) coù daïng: m(2x – y + z – 5) – nz = 0 °Giao ñieåm A, B, C cuûa (P) vaø 3 truïc Ox, Oy, Oz laàn löôït coù toïa ñoä: °Theå tích töù dieän OABC baèng °Vaäy, coù 2 phöông trình maët phaúng (P): GMCSIAB Caâu 2: .Caùch 1:°Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC (DABC vuoâng caân)°Ta coù: .Suy ra: °Döïng vaø laø goùc phaúng nhò dieän (B; SA; C).° caân taïi I.°°.°Ta coù: zxxyCBAEFGM°Vaäy, Caùch 2:°°Goïi M laø trung ñieåm BC°Goïi E, F laàn löôït laø hình chieáu cuûa G treân AB, AC. Töù giaùc AEGF laø hình vuoâng °Döïng heä truïc toïa ñoä Axyz, vôùi Ax, Ay, Az ñoâi moät vuoâng goùc, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(0; a; 0), .°°, vôùi ° vôùi .°Maët phaúng (SAB) coù caëp vectô chæ phöông neân coù phaùp vectô °Maët phaúng (SAC) coù caëp vectô chæ phöông neân coù phaùp vectô °Goùc phaúng nhò dieän (B; SA; C) baèng 60o.°Vaäy, BÀI 5Caâu 1: trong khoâng gian Oxyz, tìm kiếm treân Ox ñieåm A caùch ñeàu ñöôøng thaúng(d) : vaø maët phaúng (a) : 2x – y – 2z = 0.Caâu 2: mang lại hình choùp SABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu coù caïnh baèng , SA vuoâng goùc vôùi (ABC) vaø SA = a. Goïi E, F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caïnh AB, BC. Tính goùc vaø khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng SE vaø AF.GIẢICaâu 1: Goïi A(a; 0; 0) .°Khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (a) : °(D) qua vaø coù vectô chæ phöông °Ñaët °Do ñoù: d(A; D) laø ñöôøng cao veõ töø A trong tam giaùc °Theo giaû thieát: d(A; a) = d(A; D) °Vaäy, coù moät ñieåmA(3; 0; 0).CSFMBEKHACaâu 2: Caùch 1:°Goïi M laø trung ñieåm cuûa BF Þ EM // AF°DSAE vuoâng taïi A coù: °°°°AÙp duïng ñònh lyù ñöôøng trung tuyeán SM vào DSBF coù: °Goïi a laø goùc nhoïn taïo bôûi SE vaø AF°AÙp duïng ñònh lyù haøm Coâsin vaøo DSEM coù:°Döïng Ta coù: vaø °Vì °DSAK vuoâng coù: zaSAxEBMFyC°Vaäy, .Caùch 2:°Döïng heä truïc Axyz, vôùi Ax, Ay, Az ñoâi moät vuoâng goùc, A(0; 0; 0), vaø .°°Goïi a laø goùc nhoïn taïo bôûi SE vaø AF.ta coù:° vôùi °Phöông trình maët phaúng (SEM) qua S vôùi phaùp vectô °Khoaûng caùch töø A ñeán (SEM): °Vì Vaäy, ĐỀ 6Caâu 1: trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä vuoâng goùc Oxyz mang lại maët phaúng (P) vaø maët caàu (S):(P): .Tìm m ñeå (P) tieáp xuùc (S). Vôùi m search ñöôïc xaùc ñònh toïa ñoä tieáp ñieåm.Caâu : mang lại hình choùp S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng taïi B, AB = a, BC = 2a, caïnh SA vuoâng goùc vôùi ñaùy vaø SA = 2a. Goïi M laø trung ñieåm SC. Chöùng minh DMAB caân vaø tính dieän tích DMAB theo a.LỜI GIẢICaâu 1: coù taâm I(1; -1; 1) vaø baùn kính R = 3.(P) tieáp xuùc (S) °Vaäy, (P) tieáp xuùc (S) khi m = -5 giỏi m = 2, lúc ñoù (P): 2x + 2y + z – 10 = 0°Ñöôøng thaúng (d) qua I vaø vuoâng goùc vôùi (P) coù phöông trình: °Toïa ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm cuûa heä: SMCHBKA°Vaäy, toïa ñoä tieáp ñieåm M(3; 1; 2).Caâu 2: Caùch 1:°Ta coù: bởi ñoù DSAC vuoâng taïi A coù AM laø trung tuyeán neân °Ta laïi coù: Þ (ñònh lyù 3 ñöôøng vuoâng goùc) do ñoù DSBC vuoâng taïi B coù BM laø trung tuyeán neân °Suy ra: MA = MBÞ DMAB caân taïi M.°Döïng MH // SA vaø vì: °DMHK vuoâng taïi H coù: °Dieän tích DMAB: Caùch 2:zS2aMCyHBAKx°DABC vuoâng taïi B coù: °Döïng ta coù: ××°Döïng heä truïc toïa vuoâng goùc Axyz, vôùi Ax, Ay, Az ñoâi moät vuoâng goùc vaø °Toïa ñoä trung ñieåm M cuûa SC laø °Ta coù: suy ra: MA = MBÞ DMAB caân taïi M.°Ta coù: °Dieän tích DMAB: BÀI 7Caâu 1: mang đến hình choùp ñeàu S.ABC, ñaùy ABC coù caïnh baèng a, maët beân taïo vôùi ñaùy moät goùc baèng . Tính theå tích khoái hình choùp S.ABC vaø khoaûng caùch töø ñænh A ñeán maët phaúng (SBC).Caâu 2: .Trong khoâng gian oxyz đến hai ñöôøng thaúng:(d1) : ; (d2) : Chöùng minh (d1) vaø (d2) cheùo nhau. Vieát phöông trình maët caàu (S) coù ñöôøng kính laø ñoaïn vuoâng goùc thông thường cuûa (d1) vaø (d2).GIẢISAOBHCj Caâu 1: Caùch 1: °Goïi H laø trung ñieåm cuûa BC.°Do S.ABC ñeàu vaø DABC ñeàu neân chaân ñöôøng cao ñænh S truøng vôùi giao ñieåm bố ñöôøng cao laø tröïc taâm O cuûa DABC vaø coù DSBC caân taïi S.suy ra: neân .°Ta coù: vuoâng goùc: vaø °Theå tích hình choùp S.ABC: °Dieän tích DSBC: °Goïi h laø khoaûng caùch töø A ñeán (SBC), ta coù: Caùch 2: Cj MBxAzSOy°Vì S.ABC laø hình choùp ñeàu neân chaân ñöôøng cao ñænh S truøng vôùi taâm O ñöôøng troøn (ABC).°Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC. Ta coù: - vaø --DSOM vuoâng coù: °Döïng heä truïc toïa ñoä Axyz, vôùi Ax, Ay, Az ñoâi moät vuoâng goùc, A(0; 0; 0), °Theå tích hình choùp: °Ta coù: °°Phöông trình maët phaúng (SBC) qua B vôùi vectô phaùp tuyeán °Khoaûng caùch d töø A ñeán (SBC): Caâu 2: (d1) ñi qua ñieåm A(0; 0; 4) vaø coù vectô chæ phöông (d2) ñi qua ñieåm B(3; 0; 0) vaø coù vectô chæ phöông °° khoâng ñoàng phaúng.°Vaäy, (d1) vaø (d2) cheùo nhau.°(d2) coù phöông trình tham soá: °Goïi MN laø ñöôøng vuoâng goùc thông thường cuûa (d1) vaø (d2)°,°Ta coù: °Toïa ñoä trung ñieåm I cuûa MN: I(2; 1; 2), baùn kính °Vaäy, phöông trình maët caàu (S): BÀI 8Caâu 1: vào khoâng gian Oxyz coù 2 maët phaúng (P): 3x + 12y – 3z – 5 = 0, (Q): 3x – 4y + 9z + 7 = 0 vaø 2 ñöôøng thaúng:(d1): Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (D) song song vôùi nhị maët phaúng (P) vaø (Q), vaø caét nhị ñöôøng thaúng (d1) vaø (d2).Caâu 2: cho hình laäp phöông ABCD . A"B"C"D" caïnh a. M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø C"D". Tính khoaûng caùch töø B" ñeán (A"MCN).GIẢICaâu 1: (P) coù phaùp vectô vôùi QPQ/P/DBd2d1AD/°(Q) coù phaùp vectô °(d1) coù vectô chæ phöông °(d2) coù vectô chæ phöông °Goïi: °Suy ra (D) laø giao tuyeán cuûa nhì maët phaúng (P/) vaø (Q/), vaø (D) // (D/).°(D) coù vectô chæ phöông vôùi °mp (P/) coù caëp vectô chæ phöông vaø neân coù phaùp vectô: °Phöông trình mp (P/) chöùa (d1) ñi qua ñieåm A(-5; 3; -1) vôùi laø:25(x + 5) + 32(y – 3) + 26(z + 1) = 0°mp (Q/) coù caëp vectô chæ phöông vaø neân coù phaùp vectô: °Phöông trình mp (Q/) chöùa (d2) ñi qua ñieåm B(3; -1; 2) vôùi laø:°Ta coù: °Vaäy, phöông trình ñöôøng thaúng (D) : Caâu 2: Caùch 1: D/A/B/C/DABCMN°Boán tam giaùc vuoâng baèng nhau (c.g.c) laø hình thoi.°Hai hình choùp B/A/MCN vaø B/.A/NC coù chung ñöôøng cao veõ töø ñænh B/ vaø neân: °Maø: °Ta coù: vôùi °Goïi H laø hình chieáu cuûa B/ treân (A/MCN), ta coù: Caùch 2: CaA/C/DABMND/zaayx°Choïn heä truïc Dxyz, vôùi Dx, Dy, Dz ñoâi moät vuoâng goùc, A(a; 0; 0), B(a; a; 0), C(0; a; 0), D(0; 0; 0), A/(a; 0; a),B/(a; a; a), C/(0; a; a), D/(0; 0; a), °Ta coù: °Phöông trình mp (A/MCN) qua C(0; a; 0) vôùi phaùp vectô °Khoaûng caùch d töø B/(a; a; a) ñeán mp(A/MCN): ĐỀ 9Caâu 1: vào khoâng gian Oxyz mang đến 2 ñöôøng thaúng:(d1) : ; vaø (d2) : Goïi K laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñieåm I(1; -1; 1) treân (d2). Kiếm tìm phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng qua K vuoâng goùc vôùi (d1) vaø caét (d1).Caâu 2: Tính theå tích cuûa hình choùp S.ABC, bieát ñaùy ABC laø moät tam giaùc ñeàu caïnh a, maët beân (SAB) vuoâng goùc vôùi ñaùy, nhì maët beân coøn laïi cuøng taïo vôùi ñaùy goùc a.GIẢICaâu 1: (d1) coù vectô chæ phöông (d2) coù vectô chæ phöông °°°Giaû söû (D) caét (d1) taïi °°°Vaäy, phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng (D): .Caâu 2: Caùch 1:SHPCABNj°Döïng °Ta coù: vaø SH laø ñöôøng cao cuûa hình choùp.°Döïng °DSHN = DSHP Þ tp hà nội = HP.°DAHP vuoâng coù: °DSHP vuoâng coù: °Theå tích hình choùp Caùch 2:°Döïng °Ta coù: °Vì (SAC) vaø (SBC) cuøng taïo vôùi (ABC) moät goùc a vaø DABC ñeàu, neân suy ra H laø trung ñieåm AB. ZhSBCAxHy°Döïng heä truïc toïa ñoä Hxyz, vôùi Hx, Hy, Hz ñoâi moät vuoâng goùc, °Phöông trình mp (ABC): z = 0, vôùi phaùp vectô °Phöông trình mp (SAC): vôùi °(SAC) taïo vôùi (ABC) moät goùc a: °Theå tích hình choùp S.ABC: .ĐỀ 10Caâu 1: vào khoâng gian Oxyz mang lại 2 ñöôøng thaúng:(D1) : 1.Laäp phöông trình thiết yếu taéc cuûa ñöôøng thaúng (D3) ñoái xöùng vôùi (D2) qua (D1).2.Xeùt maët phaúng (a) : x + y + z + 3 = 0. Vieát phöông trình hình chieáu cuûa (D2) theo phöông (D1) leân maët phaúng (a).3.Tìm ñieåm M treân maët phaúng (a) ñeå ñaït giaù trò nhoû nhaát bieát M1(3; 1; 1) vaø M2(7; 3; 9).Caâu 2: mang lại laêng truï ñöùng ABC.A"B"C" coù ñaùy ABC laø tam giaùc caân vôùi AB = AC = a, goùc , caïnh beân BB" = a. Goïi I laø trung ñieåm CC". Chöùng minh DAB"I vuoâng taïi A vaø tính cosin cuûa goùc giöõa hai maët phaúng (ABC) vaø (AB"I).GIẢICaâu 1: 1.° coù vectô chæ phöông AA/B/BD2D1D3KH° °Goïi H laø hình chieáu cuûa A treân (D1)°°°Goïi A/ laø ñieåm ñoái xöùng cuûa A qua H Þ A/(-1; -1; -7)°Goïi K laø hình chieáu cuûa B treân (D1) vaø B/ laø ñieåm ñoái xöùng cuûa B qua K. Töông töï nhö treân ta search ñöôïc: °, vôùi °Phöông trình ñöôøng thaúng (D3) ñoái xöùng vôùi (D2) qua (D1) thiết yếu laø phöông trình ñöôøng thaúng qua A/ vôùi vectô chæ phöông .°Vaäy, phöông trình bao gồm taéc (D3): .2.Maët phaúng (b) chöùa (D2) vaø (b) // (D1)Þ (b) coù caëp vectô chæ phöông Þ vôùi °Phöông trình mp (b) qua A(7; 3; 9) vôùi phaùp tuyeán : °Ta coù: laø hình chieáu cuûa (D2) leân (a) theo phöông (D1).aM2M1I(D)M0M°Vaäy, phöông trình hình chieáu 3.Goïi I laø trung ñieåm °Ta coù: nhoû nhaát nhoû nhaát M laø hình chieáu cuûa I treân (a)°Phöông trình ñöôøng thaúng (D) qua I vaø vuoâng goùc vôùi (a) laø:°Goïi M laø giao ñieåm cuûa (D) vaø (a)°°°Vaäy, ñieåm M caàn tìm: M(0; -3; 0).Caâu 2: Caùch 1:°Goïi H laø trung ñieåm °DABH laø nöûa tam giaùc ñeàu caïnh AB = a Þ vaø A/B/C/ABC30oHI° vuoâng coù: °DAIC vuoâng coù: °Ta coù: (AB/ laø ñöôøng cheùo cuûa hình vuoâng AA/B/B caïnh a)°Vaäy, DAB/I vuoâng taïi A.°Ta coù: °Goïi a laø goùc giöõa nhị maët phaúng (ABC) vaø (AB/I), theo coâng thöùc chieáu, ta coù:Caùch 2:60oB/A/C/zaBCAHIyz°Goïi H laø trung ñieåm BC Þ °DABH laø nöûa tam giaùc ñeàu caïnh AB = a vaø °Döïng heä truïc Axyz, vôùi Ax, Ay, Az ñoâi moät vuoâng goùc, °°Ta coù: Vaäy, DAB/I vuoâng taïi A.*Phöông trình mp(ABC): z = 0 coù phaùp vectô *mp (AB/I) coù caëp vectô chæ phöông , neân coù phaùp vectô: vôùi .°Goïi a laø goùc giöõa (ABC) vaø (AB/I), ta coù:
