Phương trình bậc 2 có nghiệm khi nào

     

Sau khi đã có tác dụng quen cùng với hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn, thì phương trình bậc 2 một ẩn chính là nội dung tiếp theo sau mà các em vẫn học, đây cũng là nội dung thông thường sẽ có trong chương trình ôn thi vào lớp 10 THPT.

Bạn đang xem: Phương trình bậc 2 có nghiệm khi nào


Vì vậy, trong nội dung bài viết này chúng ta cùng tìm hiểu cách giải phương trình bậc 2 một ẩn, cách tính nhẩm nghiệm nhanh bởi hệ thức Vi-et, bên cạnh đó giải một trong những dạng toán về phương trình bậc 2 một ẩn để trải qua bài tập những em sẽ nắm vững nội dung lý thuyết.


I. Tóm tắt lý thuyết về Phương trình bậc 2 một ẩn

1. Phương trình hàng đầu ax + b = 0

- Nếu a ≠ 0, phương trình bao gồm nghiệm độc nhất vô nhị x=(-b/a)

- ví như a = 0, b ≠ 0, phương trình vô nghiệm

- trường hợp a = 0, b = 0, phương trình có vô số nghiệm

2. Phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

a) Công thức nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn:

• Tính

*

+) Δ > 0: PT có 2 nghiệm:

*
;
*

+) Δ = 0: PT gồm nghiệm kép:

*

+) Δ 0: PT gồm 2 nghiệm:

*
;
*

+) Δ" = 0: PT tất cả nghiệm kép:

*

+) Δ" b) Định lý Vi-et:

- điện thoại tư vấn x1 cùng x2 là 2 nghiệm của PT bậc 2 một ẩn ax2 + bx + c = 0 (a≠0):

 ; 

*

- Ta có thể sử dụng định lý Vi-et nhằm tính các biểu thức của x1 , x2 theo a,b,c:

 ♦ 

 ♦ 

*

 ♦ 

*
 
*

 ♦ 

*

c) Định lý Vi-et đảo:

- nếu x1 + x2 = S với x1.x2 = p thì x1, x2 là nghiệm của phương trình: X2 - SX + p = 0 (Điều kiện S2 - 4P ≥ 0)

d) Ứng dụng của định lý Vi-et

* Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc 2:

- nếu a + b + c = 0 thì: x1 = 1 và x2 = (c/a);

- giả dụ a - b + c = 0 thì: x1 = -1 với x2 = (-c/a);

* tra cứu 2 số khi biết tổng cùng tích

- mang đến 2 số x, y, biết x + y = S với x.y = p thì x, y là nghiệm của phương trình: X2 - SX + p = 0

* so sánh thành nhân tử

- nếu phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có 2 nghiệm x1, x2 thì ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) = 0

* khẳng định dấu của những nghiệm số

- mang đến phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), giả sử PT bao gồm 2 nghiệm x1, x2 thì S = x1 + x2 = (-b/a); p = x1x2 = (c/a)

- Nếu p.

- Nếu phường > 0 và Δ > 0 thì phương trình tất cả 2 nghiệm cùng dấu, lúc đó nếu S > 0 thì phương trình tất cả 2 nghiệm dương, S

II. Một số dạng toán phương trình bậc 2 một ẩn

Dạng 1: Giải phương trình bậc 2 một ẩn

* Phương pháp:

+ Trường hòa hợp 1: Phương trình bậc 2 khuyết hạng tử bậc nhất:

- gửi hạng tử thoải mái sang vế phải

- Chia cả 2 vế cho thông số bậc 2, mang đến dạng x2 = a.

+ trường hợp a > 0, phương trình tất cả nghiệm x = ±√a

+ nếu a = 0, phương trình tất cả nghiệm x = 0

+ trường hợp a

+ Trường vừa lòng 2: Phương trình bậc 2 khuyết hạng tử dự do:

- so với vế trái thành nhân tử bằng cách thức đặt nhân tử chung, đưa về phương trình tích rồi giải.

+ Trường phù hợp 3: Phương trình bậc 2 đầy đủ:

- thực hiện công thức nghiệm, hoặc công thức sát hoạch gọn nhằm giải

- sử dụng quy tắc tính nhẩm nghiệm để tính nghiệm đối với 1 số phương trình sệt biệt.

 Ví dụ: Giải những phương trình sau:

 a) 2x2 - 4 = 0  b) x2 + 4x = 0

 c) x2 - 5x + 4 = 0

* Lời giải:

a) 2x2 - 4 = 0 ⇔ 2x2 = 4 ⇔ x2 = 2 ⇔ x = ±√2.

⇒ Kết luận: Phương trình gồm nghiệm x=±√2.

b) x2 + 4x = 0 ⇔ x(x+4) = 0

 ⇔ x = 0 hoặc x + 4 =0

 ⇔ x = 0 hoặc x = -4

⇒ Kết luận: Phương trình bao gồm nghiệm x=0 và x=-4.

c) x2 - 5x + 4 = 0

* bí quyết giải 1: áp dụng công thức nghiệm

 

*

 

*

 ⇒ PT có 2 nghiệm phân biệt:  

*
 ;
*

 ⇒ Kết luận: Phương trình bao gồm nghiệm x=1 với x=4.

* cách giải 2: nhẩm nghiệm

- PT đã cho: x2 - 5x + 4 = 0 có các hệ số a=1; b=-5; c=4 và ta thấy: a + b + c = 1 - 5 + 4 = 0 buộc phải theo ứng dụng của định lý Vi-ét, ta có x1 = 1; x2 = c/a = 4/1 = 4

 ⇒ Kết luận: Phương trình tất cả nghiệm x=1 cùng x=4.

Xem thêm: Truyện Cổ Tích Nàng Bạch Tuyết Và Bảy Chú Lùn Và Bảy Bài Học Ý Nghĩa Cho Bé

* Một số chú ý khi giải phương trình bậc 2:

♦ Nếu chạm chán hằng đẳng thức 1 và 2 thì đem lại dạng tổng thể giải bình thường, không nên giải theo công thức, ví dụ: x2 - 2x + 1 = 0 ⇔ (x-1)2 = 0 ⇔ x = 1.

♦ Phải thu xếp lại đúng máy tự những hạng tử để lập thành phương trình ax2 + bx + c = 0 rồi mới áp dụng công thức, ví dụ: x(x - 5) = 6 ⇔ x2 - 5x = 6 ⇔ x2 - 5x - 6 = 0 ⇔ áp dụng công thức giải tiếp,...

♦ không hẳn lúc như thế nào x cũng chính là ẩn số mà rất có thể là ẩn y, ẩn z ẩn t hay ẩn a, ẩn b,... Tùy vào giải pháp ta chọnbiến, ví dụ: a2 - 3a + 2 = 0; t2 - 6t + 5 = 0.

Dạng 2: Phương trình mang về phương trình bậc 2 bằng cách thức đặt ẩn phụ

a) Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0 (a≠0)

* Phương pháp:

 - Đặt t = x2 (t≥0), đưa PT về dạng: at2 + bt + c = 0

 - Giải PT bậc 2 theo t, chất vấn nghiệm t bao gồm thoả điều kiện hay không, ví như có, quay lại phương trình x2 = t nhằm tìm nghiệm x.

b) Phương trình chứa ẩn ngơi nghỉ mẫu:

* Phương pháp:

- tìm điều kiện xác định của phương trình

- Quy đồng mẫu mã thức 2 vế rồi khử mẫu

- Giải phương trình vừa nhận được

- đánh giá điều kiện những giá trị search được, loại các giá trị không đống ý điều kiện, các giá trị thoả điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đang cho.

 Ví dụ: Giải phương trình sau:

a) x4 - 3x2 + 2 = 0

b) 

*

* Lời giải:

a) x4 - 3x2 + 2 = 0 (*)

- Đặt t = x2 (t ≥ 0) ta bao gồm (*) ⇔ t2 - 3t + 2 = 0

- Ta thấy a + b + c = 0 ⇒ t = 1 hoặc t = 2 (đều thoả ĐK t ≥ 0)

- với t = 1: x2 = 1 ⇒ x = ±1

- với t = 2: x2 = 2 ⇒ x = ±√2

⇒ Kết luận: Phương tình tất cả nghiệm (-√2; -1; 1; √2)

b) 

*
 (*)

 ĐK: x ≠ 3; x ≠ 2

 - Quy đồng khử mẫu, PT (*) ta được:

 (x+2)(2-x) - 9(x-3)(2-x) = 6(x-3)

⇔ 4 - x2 - 9(-x2 + 5x - 6) = 6x - 18

⇔ 4 - x2 + 9x2 -45x + 54 - 6x + 18 = 0

⇔ 8x2 - 51x + 76 = 0

*
*

*
 ;

*

- cả 2 nghiệm trên phần đa thoả ĐK x ≠ 3; x ≠ 2; 

⇒ PT tất cả nghiệm: x1 = 19/8 với x2 = 4;

Dạng 3: Giải biện luận số nghiệm của phương trình bậc 2 gồm tham số

* Phương pháp:

 - áp dụng công thức nghiệm, hoặc công thức sát hoạch gọn để giải,

 - Tính 

*
 theo tham số:

+ Nếu Δ > 0: phương trình có 2 nghiệm phân biệt

+ Nếu Δ = 0: phương trình tất cả nghiệm kép

+ Nếu Δ

 Ví dụ: Giải biện luận theo m, phương trình: mx2 - 5x - m - 5 = 0 (*)

* Lời giải:

- Trường thích hợp m = 0 thì (*) trở thành: -5x - 5 = 0 ⇒ x = -1

- Trường vừa lòng m ≠ 0, ta có:

*

= 25 + 4m(m+5) = 25 + 4m2 + 20m = (2m+5)2

- Ta thấy: Δ = (2m+5)2 ≥ 0, ∀ m nên PT(*) sẽ luôn luôn có nghiệm

+ Nếu Δ = 0 ⇒ m =-5/2 thì PT (*) có nghiệp duy nhất: 

*

+ Nếu Δ = 0 ⇒ m -5/2 thì PT (*) có 2 nghiệm phân biệt:

*

Dạng 4: xác minh tham số m nhằm phương trình bậc 2 thoả mãn điều kiện nghiệm số

* Phương pháp

- Giải phương trình bậc 2, kiếm tìm x1; x2 (nếu có)

- Với điều kiện về nghiệm số của đề bài bác giải tìm kiếm m

- Bảng xét vết nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn:

*

* lưu lại ý: Nếu bài toán yêu cầu phương trình bao gồm 2 nghiệm minh bạch thì ta xét Δ > 0 ; còn giả dụ đề bài chỉ nói phổ biến chung phương trình gồm 2 nghiệm thì ta xét Δ ≥ 0.

Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2 + bx + c = 0 (a≠0) có:

 1. Có nghiệm (có nhị nghiệm) ⇔ Δ ≥ 0

 2. Vô nghiệm ⇔ Δ

 3. Nghiệm độc nhất (nghiệm kép, nhì nghiệm bằng nhau) ⇔ Δ = 0

 4. Có hai nghiệm phân minh (khác nhau) ⇔ Δ > 0

 5. Nhì nghiệm cùng dấu ⇔ Δ ≥ 0 và phường > 0

 6. Nhì nghiệm trái vệt ⇔ Δ > 0 và phường

 7. Hai nghiệm dương (lớn hơn 0) ⇔ Δ ≥ 0; S > 0 và p. > 0

 8. Nhì nghiệm âm (nhỏ hơn 0) ⇔ Δ ≥ 0; S 0

 9. Nhị nghiệm đối nhau ⇔ Δ ≥ 0 và S = 0

 10.Hai nghiệm nghịch hòn đảo nhau ⇔ Δ ≥ 0 và p = 1

 11. Nhì nghiệm trái dấu cùng nghiệm âm có giá trị tuyệt vời lớn hơn ⇔ a.c

 12. Hai nghiệm trái dấu với nghiệm dương có mức giá trị tuyệt vời lớn hơn ⇔ a.c 0

 Ví dụ: mang lại phương trình bậc 2 ẩn x thông số m: x2 + mx + m + 3 = 0 (*)

a) Giải phương trình với m = -2.

b) tìm kiếm m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả x12 + x22 = 9

c) tra cứu m nhằm phương trình gồm 2 nghiệm x1 , x2 thoả 2x1 + 3x2 = 5

* Lời giải:

a) cùng với m = -2 thì (*) ⇔ x2 - 2x + 1 = 0

- Ta thấy, a + b + c = 0 phải theo Vi-et PT bao gồm nghiệm: x1 = 1; x2 = c/a = 1; 

- Hoặc: x2 - 2x + 1 = 0 ⇔ (x-1)2 = 0 nên bao gồm nghiệp kép: x = 1

b) Để PT: x2 + mx + m + 3 = 0 có 2 nghiệm thì:

 

*

- khi ấy theo định lý Vi-et ta có: x1 + x2 = -m và x1x2 = m+3

 Mà x12 + x22 = x12 + 2x1x2 + x22 - 2x1x2

= (x1 + x2)2 - 2x1x2 = (-m)2 - 2(m+3) = mét vuông - 2m - 6

- bởi đó, để: x12 + x22 = 9 ⇔ m2 - 2m - 6 = 9 ⇔ m2 - 2m - 15 = 0

 Ta tính Δ"m = (-1)2 - 1(-15) = 16 ⇒ 

*

 ⇒ PT gồm 2 nghiệm m1 = (1+4)/1 = 5 và mét vuông = (1-4)/1 = -3

- test lại ĐK của m để Δ ≥ 0:

_ với m = 5 ⇒ Δ = 25 - 32 = -7

_ với m = -3 ⇒ Δ = 9 > 0 (thoả ĐK)

⇒ Vậy với m = -3 thì PT (*) bao gồm 2 nghiệm thoả x12 + x22 = 9

c) Theo câu b) PT bao gồm 2 nghiệm x1 , x2 ⇔ Δ ≥ 0

Theo Vi-et ta có: 

*

- Theo yêu cầu việc ta đề nghị tìm m sao cho: 2x1 + 3x2 = 5, ta vẫn tìm x1 với x2 theo m

- Ta giải hệ:

*
*

- Lại có x1x2 = m + 3 ⇒ (-3m-5)(2m+5) = m+3

 ⇔ -6m2 - 25m - 25 = m + 3

 ⇔ 6m2 + 26m + 28 = 0

 ⇔ 3m2 + 13m + 14 = 0

 Tính Δm = 132 - 4.3.14 = 1 > 0.

Xem thêm: #20 Cách Lưu Video Về Máy Tính, Cách Tải Video Về Máy Tính Đơn Giản Nhất

 ⇒ PT gồm 2 nghiệm phân biệt: m1 = -7/3; mét vuông = -2

- test lại điều kiện: Δ ≥ 0;

_ cùng với m = -7/3; Δ = 25/9 > 0 (thoả)

_ cùng với m = -2; Δ = 0 (thoả)

⇒ Kết luận: cùng với m=-2 hoặc m=-7/3 thì PT bao gồm 2 nghiệm thoả 2x1 + 3x2 = 5.

Dạng 5: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

* Phương pháp: Vận dụng hoạt bát theo yêu thương cầu vấn đề để lập phương trình với giải

 Ví dụ: trong những khi học nhóm Hùng yêu thương cầu bạn Minh và các bạn Lan từng người lựa chọn một số, làm thế nào cho 2 số này hơn nhát nhau là 5 cùng tích của bọn chúng phải bằng 150, vậy 2 các bạn Minh và Lan đề nghị chọn tuy nhiên số nào?

* Lời giải:

- call số bạn Minh chọn là x, thì số chúng ta Lan chọn sẽ là x + 5

- Theo bài ra, tích của 2 số này là 150 cần ta có: x(x+5) = 150

 ⇔ x2 + 5x - 150 = 0

 

*

- Phương trình tất cả nghiệm x1 = 10; x2 = -15

- Vậy gồm 2 cặp số thỏa là: (10; 15) với (-15; -10)

III. Bài bác tập Phương trình bậc 2 một ẩn

Bài 12 trang 42 sgk toán 9 tập 2: Giải các phương trình sau: 

a) x2 - 8 = 0 b) 5x2 - 20 = 0 c) 0,4x2 + 1 = 0

d) 2x2 + x√2 = 0 e) -0,4x2 + 1,2x = 0

* Lời giải Bài 12 trang 42 sgk toán 9 tập 2:

a) x2 - 8 = 0 ⇔ x2 = 8 ⇔ x = ±2√2

b) 5x2 - đôi mươi = 0 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = ±2

c) 0,4x2 + 1 = 0 ⇔ x2 = -2,5 ⇔ PT vô nghiệm

d) 2x2 + x√2 = 0 ⇔ x√2.(x√2 +1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -1/√2

e) -0,4x2 + 1,2x = 0 ⇔ 0,4x(-x+3) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 3

Bài 16 trang 45 sgk toán 9 tập 2: Dùng phương pháp nghiệm giải những phương trình sau

a) 2x2 - 7x + 3 = 0 b) 6x2 + x + 5 = 0

c) 6x2 + x - 5 = 0 d) 3x2 + 5x + 2 = 0

e) y2 - 8y + 16 =0 f) 16z2 + 24z + 9 = 0

* Lời giải Bài 16 trang 45 sgk toán 9 tập 2:

a) 2x2 - 7x + 3 = 0

 

*

- Phương trình gồm 2 nghiệm phân biệt:

 

*
 ;
*

b) PT vô nghiệm

c) x1 = -1; x2 = 5/6

d) x1 = -1; x2 = -2/3

e) nghiệm kép: y = 4

f) nghiệm kép: z = -3/4

III. Luyện tập các dạng bài bác tập phương trình bậc nhì một ẩn

Bài 1: Giải những phương trình sau:

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

e) 

*

Bài 2: Giải những phương trình sau bằng phương thức tính nhẩm nghiệm

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

e) 

*

f) 

*

Bài 3: hotline x1 với x2 là nghiệm của phương trình x2 - 3x - 7 = 0. Không giải phương trình tính giá bán trị của những biểu thức sau:

1) 

*

2) 

*

3) 

*

4) 

*

5) 

*

Bài 4: Gọi x1 và x2 là nghiệm của phương trình 3x2 + 5x - 6 = 0. Ko giải phương trình tính giá chỉ trị của các biểu thức sau:

1) 

*

2) 

*

Bài 5: Cho phương trình (2m-1)x2 - 2mx + 1 = 0. Xác minh m nhằm phương trình trên gồm nghiệm thuộc khoảng chừng (-1;0)