Tìm Đạo Hàm Cấp N

     
Bài viết này thutrang.edu.vn reviews đến các bạn đọc phương thức Tính đạo hàm cùng vi phân cấp cao của hàm số

*

1. Một vài công thức đạo hàm cấp cao của hàm số thường gặp

$eginarrayl y = sin (ax + b) Rightarrow y^(n)(x) = a^nsin left( ax + b + fracnpi 2 ight)\ y = cos (ax + b) Rightarrow y^(n)(x) = a^ncos left( ax + b + fracnpi 2 ight)\ y = frac1ax + b Rightarrow y^(n)(x) = frac( - 1)^na^n.n!(ax + b)^n + 1\ y = e^ax + b Rightarrow y^(n)(x) = a^ne^ax + b.\ y = (ax + b)^alpha Rightarrow y^(n)(x) = a^nalpha (alpha - 1)...(alpha - n + 1)(ax + b)^alpha - n endarray$

2. Công thức Lepnit tính đạo hàm v.i.p của hàm số tích

Cho các hàm số $y=u(x),y=v(x)$ có đạo hàm đến cung cấp $n$ khi đó $left< u(x).v(x) ight>^(n)=sumlimits_k=0^nC_n^ku^(k)(x)v^(n-k)(x).$

3. Các ví dụ minh hoạ

Câu 1. Tính đạo hàm $f^(50)(x)$ cùng với $f(x)=(2x^2+x+1)e^5x+2.$

Giải. Ta có:

$eginarrayc f^(50)(x) = sumlimits_k = 0^50 C_50^k(2x^2 + x + 1)^(k)(e^5x + 2)^(50 - k) .\ = 5^50(2x^2 + x + 1)e^5x + 2 + 50(4x + 1)5^49e^5x + 2 + 1225.4.5^48e^5x + 2. endarray$

Câu 2. Cho hàm số $f(x)=dfrac1+xsqrt1-x.$ Tính $f^(100)(0).$

Giải. Ta có

$eginarrayl f(x) = dfrac1 + xsqrt 1 - x = dfrac2 - (1 - x)sqrt 1 - x = 2(1 - x)^ - dfrac12 - (1 - x)^dfrac12.\ f^(100)(x) = 2left< ( - 1)^100left( - dfrac12 ight)left( - dfrac12 - 1 ight)...left( - dfrac12 - 99 ight)(1 - x)^ - dfrac12 - 100 ight>\ - left< ( - 1)^100left( dfrac12 ight)left( dfrac12 - 1 ight)...left( dfrac12 - 99 ight)(1 - x)^dfrac12 - 100 ight>\ = dfrac3.5...1992^99(1 - x)^ - dfrac2012 + dfrac3.5....1972^100(1 - x)^dfrac1972. endarray$

Do kia $f^(100)(0)=dfrac3.5...1972^100(199.2+1)=399dfrac(197)!!2^100,$ trong các số đó $(2n+1)!!=(2n+1)(2n-1)...5.3.1;(2n)!!=2n(2n-2)...6.4.2.$

Câu 3. Tính $f^(100)(x)$ biết $f(x)=x^2cos x.$

Giải. Ta có:

$eginarrayc f^(100)(x) = sumlimits_k = 0^100 C_100^k(x^2)^(k)(cos x)^(100 - k) \ = x^2cos left( x + frac100pi 2 ight) + 100.2x.cos left( x + frac99pi 2 ight) + 4950.2.cos left( x + frac98pi 2 ight)\ = x^2cos x + 200xsin x - 9900cos x. endarray$

Câu 4.

Bạn đang xem: Tìm đạo hàm cấp n

Tính đạo hàm cấp cao $y^(5)(x)$ của hàm số $y=ln (2x^2-x).$

Giải. Ta có: $y"=dfrac4x-12x^2-x=dfrac4x-1x(2x-1)=dfrac42x-1-dfrac1x(2x-1)=dfrac42x-1-left( dfrac22x-1-dfrac1x ight)=dfrac22x-1+dfrac1x.$

Vậy $y^(5)(x)=left( dfrac22x-1+dfrac1x ight)^(4)=2dfrac2^4(-1)^44!(2x-1)^5+dfrac(-1)^44!x^5=24left( dfrac32(2x-1)^5+dfrac1x^5 ight).$

Câu 5. Tính đạo hàm cấp cao $f^(100)(0)$ của hàm số $f(x)=dfrac1x^2-x+1.$

Giải. Ta có:

$eginarrayl f(x) = frac1left( x - frac12 ight)^2 + frac34 = frac1left( x - frac12 ight)^2 - left( fracsqrt 3 2i ight)^2 = frac1sqrt 3 ileft( frac1x - frac12 - fracsqrt 3 2i - frac1x - frac12 + fracsqrt 3 2i ight).\ f^(100)(x) = frac1sqrt 3 ileft( frac( - 1)^100100!left( x - frac12 - fracsqrt 3 2i ight)^101 - frac( - 1)^100100!left( x - frac12 + fracsqrt 3 2i ight)^101 ight)\ f^(100)(0) = frac100!sqrt 3 ileft( frac1left( - frac12 - fracsqrt 3 2i ight)^101 - frac1left( - frac12 + fracsqrt 3 2i ight)^101 ight) = frac100!sqrt 3 i( - sqrt 3 i) = - 100! endarray$

Bước cuối bạn đọc thay dạng lượng giác số phức vào nhằm rút gọn.

Xem thêm: Vở Bài Tập Toán Lớp 5 Tập 2 Trang 67, Giải Vbt Toán 5 Tập 2 Bài 135: Luyện Tập

Cách 2:Ta tất cả $(x^2-x+1)y=1,$ đạo hàm cấp cho n nhị vế có:

$eginarrayl (x^2 - x + 1)y^(n)(x) + n(2x - 1)y^(n - 1)(x) + n(n - 1)y^(n - 2)(x) = 0\ y^(n)(0) - ny^(n - 1)(0) + n(n - 1)y^(n - 2)(0) = 0 Leftrightarrow fracy^(n)(0)n! - fracy^(n - 1)(0)(n - 1)! + fracy^(n - 2)(0)(n - 2)! = 0\ u_n = fracy^(n)(0)n! Rightarrow u_n - u_n - 1 + u_n - 2 = 0.... endarray$

Câu 6. Tính đạo hàm cấp cao $y^(99)(0)$ của hàm số $y=arcsin x.$

Giải. Ta có:

$eginarrayl y" = frac1sqrt 1 - x^2 Rightarrow (1 - x^2)y" = sqrt 1 - x^2 \ Rightarrow - 2xy" + (1 - x^2)y"" = - fracxsqrt 1 - x^2 = - xy"\ Leftrightarrow (1 - x^2)y"" - xy" = 0. endarray$

Do kia $left( (1-x^2)y""-xy" ight)^(n)=0$ và

$eginarrayl (1 - x^2)y^(n + 2)(x) - n.2x.y^(n + 1)(x) - n(n - 1)y^(n)(x) - xy^(n + 1)(x) - ny^(n)(x) = 0.\ Rightarrow y^(n + 2)(0) = n^2y^(n)(0) Rightarrow y^(99)(0) = 97^2y^(97)(0) = ... = (97.95...3.1)^2y"(0) = (97!!)^2. endarray$

Hiện tại thutrang.edu.vn xây đắp 2 khoá học tập Toán cao cấp 1 và Toán thời thượng 2 dành riêng cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đh khối ngành kinh tế của toàn bộ các trường:

Khoá học cung cấp đầy đủ kỹ năng và phương thức giải bài xích tập các dạng toán kèm theo mỗi bài xích học. Khối hệ thống bài tập tập luyện dạng tự luận bao gồm lời giải chi tiết tại website để giúp học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn kiến thức. Phương châm của khoá học giúp học viên ăn điểm A thi cuối kì những học phần Toán cao cấp 1 với Toán cao cấp 2 trong các trường gớm tế.

Xem thêm: Đoàn Thanh Niên Cộng Sản Hồ Chí Minh, Đoàn Thanh Niên

Sinh viên những trường ĐH sau đây rất có thể học được full bộ này:

- ĐH kinh tế Quốc Dân

- ĐH nước ngoài Thương

- ĐH yêu mến Mại

- học viện Tài Chính

- học viện chuyên nghành ngân hàng

- ĐH kinh tế tài chính ĐH quốc gia Hà Nội

và những trường đại học, ngành kinh tế tài chính của những trường ĐH khác trên mọi cả nước...